L’urne de Polya

source: K. BEDFORD / REUTERS (repris du site 20minutes.fr)

Un actif financier a-t-il une valeur objective?

Introduite en bourse à 42$, l’action de Facebook n’en vaut plus que 19 aujourd’hui. Les perspectives économiques du plus grand réseau social auraient-elles fondu en six mois de temps? Mais au fait que vaut VRAIMENT une action? A en croire les manuels d’économie, la « valeur fondamentale » d’une action se calcule en estimant la valeur des profits futurs que réalisera la société année par année jusqu’à sa disparition, en convertissant ces profits futurs à leur valeur actuelle (compte tenu du risque sur le futur, de l’inflation etc) et en additionnant le tout. Quand on voit le mal qu’on a pour estimer la croissance l’an prochain, je vous souhaite bon courage pour calculer les profits de Facebook en 2020…

Cette incertitude totale concernant le futur a conduit certains économistes comme André Orléan [1] à remettre complètement en cause l’idée même de cours fondamental. Pour s’en convaincre, il suffit de comparer historiquement les cours de Bourse avec la valeur économique « fondamentale » que je vous ai décrite, que l’on peut calculer a posteriori:

Source: Schiller, 2003 (pdf)

On voit qu’il n’y a au mieux qu’un vague rapport entre les deux notions…

Le concours de beauté de Keynes

Si personne n’a la moindre idée sur les performances futures d’une entreprise, chacun se fait en revanche une opinion sur l’évolution future du cours de l’action en fonction des informations qu’il glane à son sujet. Et surtout en se fondant sur « l’opinion du marché ». Car comme l’écrit l’économiste Pierre Balley (toujours cité par Orléan), » peu importe la qualité du raisonnement s’il doit être démenti par la Bourse, c’est-à-dire par l’opinion collective qui y prédomine. Pas plus qu’un homme politique, le gestionnaire ou l’analyste ne peut avoir raison contre l’opinion majoritaire de ses électeurs : c’est le marché qui vote. » Dans une métaphore célèbre, Keynes compare la Bourse à un concours de beauté où les participants doivent voter pour 6 visages parmi 100. Est récompensé le votant dont les préférences se rapprochent le plus de celles de la moyenne des votants. Dans ce concours explique Keynes l’enjeu n’est pas de voter pour le visage que l’on trouve le plus beau, mais de trouver celui que l’on pense le plus propre à obtenir le suffrage des autres votants… sachant que tout le monde fait le même raisonnement!

Comment concilier spéculation totale et stabilité?

Sur un marché de biens classiques, un prix trop élevé fait baisser la demande ce qui finit par pousser les prix à la baisse. De tels stabilisateurs n’existent pas sur un marché financier puisque chacun doit anticiper sur les croyances des autres même s’il ne les partage pas. Dans un tel système de spéculation généralisée, les prix sont donc complètement instables et l’on conçoit qu’ils dérivent régulièrement en bulles ou en krachs phénoménaux. Mais la Bourse n’est pas en crise tous les jours. Par quel miracle les prix restent-ils stables la plupart du temps?

C’est sans doute pour expliquer cette stabilité que les économistes restent attachés à l’idée qu’à chaque action correspond quand même une valeur « raisonnable », sorte de point de repère objectif sur lequel les experts s’accorderaient s’ils ne spéculaient pas. Une valeur autour de laquelle se stabilise le prix de l’action en temps normal. Ne pourrait-on expliquer tout à la fois les hoquets de la Bourse et ses phases de  stabilité par la pure spéculation, sans devoir invoquer l’existence d’une valeur objective?

Il vous est certainement arrivé de vous promener avec quelqu’un et de vous rendre compte au bout d’un moment que chacun suivait l’autre sans que personne ne sache où il allait. Pourtant votre parcours n’a pas été forcément erratique et vous êtes bien arrivés quelque part. Il me semble qu’on peut imaginer quelque chose de semblable pour le cours de Bourse…

Connaissez-vous les urnes de Polya?

Non l’urne de Polya ne ressemble pas à ça…

J’ai découvert cet été les fascinantes « urnes de Polya ». Non pas dans un musée sur l’Antiquité mais dans un livre sur la finance [2]. Voici ce dont il s’agit: une grande urne devant vous ne contient au départ qu’une boule noire et une boule blanche. Vous y piochez une boule au hasard et vous la remettez immédiatement dans l’urne en ajoutant une boule de la même couleur: si par exemple vous avez pioché une blanche, votre urne contient désormais deux blanches et une noire. Vous recommencez le processus un très grand nombre de fois et votre urne se remplit peu à peu de boules.

 

L’arbre de remplissage de l’urne de Polya

Comment évolue selon vous la proportion de boules blanches: va-t-elle converger vers une valeur ou pas? Et surtout vers quelle valeur: 0? 0.5? 1? Pendant que vous réfléchissez, je prépare un tableur pour simuler tout ça.

Voilà les résultats sur 200 tirages:

La proportion de blanches oscille fortement au début, puis les oscillations s’amortissent et la proportion de blanches semble comme attirée vers une valeur-cible. On dirait bien que ça converge vers 0,4. Si on recommence l’opération depuis le début, le résultat converge de nouveau, mais vers une autre limite! J’ai fait le test sur 500 urnes différentes et noté combien de fois apparaissait chaque attracteur (arrondi à une seule décimale):

Toutes les valeurs sont équiprobables: il y a autant de chance qu’un tirage converge vers 0,4 que vers 0,6 ou 0,9. Le point d’atterrissage dépend uniquement de l’historique des tirages, du « chemin parcouru » comme diraient les physiciens. Mais cette dépendance est assez spéciale. Par exemple si après le deuxième tirage l’urne contient deux boules de chaque couleur, la valeur-limite a très peu de chance d’être inférieure à 0,1 ou supérieure à 0,9:

Les premiers tirages ont donc beaucoup d’influence sur la valeur de l’attracteur, les tirages suivants un peu moins et ainsi de suite (on se doute que le 100eme tirage n’aura pratiquement aucun impact). Le sort de la valeur-limite se joue donc assez rapidement au cours des premières dizaines de tirages mais sans se dévoiler. Ce n’est que plus tard, lorsque les fluctuations perdent de leur volatilité « s’engluent » sous l’accumulation des tirages, que commence à se deviner l’existence d’un attracteur. Entre le 30eme et le 70eme tirage sur mon premier graphique. La valeur de l’attracteur ne se révèle que dans une troisième phase (après le 70eme tirage): il semble libéré de l’aléatoire qui l’a fait naître et comme doté d’une existence propre. Cette émergence progressive me fait penser à une métamorphose d’insecte…

Ce déterminisme qui émerge d’un phénomène aléatoire (le tirage des boules) est l’inverse exact du chaos, dont le résultat apparemment aléatoire résulte paradoxalement de règles déterministes.

Urne de Polya: règles aléatoires -> convergence vers une limite arbitraire mais rapidement décelable.
Chaos: règles déterministes -> aucune convergence, imprédictibilité permanente.

Quand le déterminisme émerge de l’aléatoire.

Pour voir le rapport avec le cours de Bourse, il suffit d’imaginer deux actions différentes proposées au marché avec le même prix initial. Chaque agent entrant sur le marché doit acheter l’une ou l’autre de ces actions et comme il n’a aucune idée de ce qu’elles représentent, il imite aléatoirement la tendance du marché (ou ce qui revient au même, il adopte le même comportement qu’un des agents du marché). Comme pour l’urne, la proportion de choix entre les deux actions finit par se stabiliser autour d’une valeur arbitraire. Cette proportion n’est rien d’autre que le prix relatif qui s’établit spontanément entre les deux actions. Le modèle est bien entendu trop simpliste mais vous saisissez l’idée: un point de référence très stable peut émerger et s’imposer au marché alors qu’il est né de l’aléatoire le plus total. On trouvera ensuite d’excellentes raisons pour justifier a posteriori sa valeur et spéculer sur son évolution future en fonction des informations sur l’état du monde, le déficit commercial américain, le conflit Syrien etc.

On peut trouver d’autres applications à ce petit modèle: la valeur d’une oeuvre d’art mise pour la première fois sur le marché par exemple, n’est définie que par l’idée qu’on se fait de la popularité qu’aura l’oeuvre dans le futur. Pas facile avec l’art contemporain! Pourtant, avec un mécanisme similaire à celui de l’urne de Polya, on peut concevoir que le prix d’une oeuvre se construise dans le temps et acquiert un « prix de marché » aussi stable qu’il est arbitraire.

Plus un fait est marquant, plus on a tendance à lui trouver une cause objective. Le modèle de l’urne avec double remise a le mérite d’illustrer en quoi cette intuition peut-être trompeuse. Un observateur qui ne saurait pas comment fonctionne l’urne et n’en observerait que les résultats numériques serait évidemment tenté de chercher une explication rationnelle à la valeur-limite qu’il observerait. De la même façon, on peut imaginer que la suprématie d’une technologie sur une autre (VHS contre Betamax, Blue-Ray contre HD DVD) ou d’un pôle géographique à une époque donné ait procédé de la même accumulation d’événements aléatoires, amplifiés par le mimétisme des acteurs. L’urne de Polya, c’est finalement une grande leçon d’humilité!

Sources
[1] voir par exemple un des articles d’André Orléan sur la déconnexion entre valeur fondamentale et prix des actions
[2] Didier Sornette, Why Stock Markets Crash
Sur les urnes de Polya, rien de mieux que cet article sur culture Maths
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La fièvre de l’ordre: une autre forme d’ordre spontané en physique, qui émerge de l’aléatoire le plus total

18 comments for “L’urne de Polya

  1. 25/08/2012 at 20:04

    Bon. Honnêtement ? Il déchire ton billet. Et je ne sais pas trop quoi ajouter !

  2. 26/08/2012 at 00:47

    Ben c’est déjà très sympa de le dire, Mr Pourquoi, merci pour tes encouragements!

  3. guillaume de Lamérie
    26/08/2012 at 06:31

    Quelques questions me viennent à la lecture :
    – Mélange-t-on les boules avant chaque tirage ? Si le diamètre des boules est non négligeable par rapport à la taille de l’urne, elles se sédimentent, ce qui induit un paramètre supplémentaire dans l’évolution du système, celui de l’histoire du processus.
    – Voit-on les boules quand on les tire ? L’acheteur lui voit la valeur de ce qu’il peut acheter, avant de le faire. Ce qui la aussi peut induire des changements non négligeable dans l’application du modèle.
    Et merci pour ce nouveau billet !

  4. 26/08/2012 at 12:22

    @Guillaume: le tirage dans l’urne est totalement aléatoire et le tirage n’a lieu que dans l’imagination, donc la taille des boules n’intervient pas 😉
    Pour la transposition à la Bourse, l’idée est que l’agent voit les deux actions mais n’a aucune idée a priori sur leur valeur et donc aucune préférence particulière pour l’une ou pour l’autre. Il ne se fie donc qu’à un de ses pairs (qu’on suppose tiré au hasard) ayant déjà fait son choix.

  5. 27/08/2012 at 21:56

    C’est ce qui est contre-intuitif qui nous fascine ; ce parallèle avec l’art contemporain a piqué ma curiosité, on pourrait alors dire qu’un artiste qui s’est enlisé dans des ventes à 500 euros pendant dix ans a peu de chance de faire fortune, et a contrario que les marchands d’art ont raison de lancer les nouveaux artistes avec des prix à 50.000 dollars, même si ça nous paraît outrageux. Mais il faudrait étudier comment on sort de cette valeur stable, comment on casse l’urne de Polya. Part exemple lorsque M. Charles Saatchi achète ou vend…

  6. 30/08/2012 at 14:20

    @Miss C: le système de l’urne n’est valable que si tout le monde exerce la même influence sur tout le monde. Dans la vraie vie, les experts et journalistes nous cassent donc souvent les urnes 😉

  7. Ertis
    01/09/2012 at 17:37

    Je visite régulièrement ce site depuis un petit temps, alors, tout d’abord, bonjour à tous et merci à Xochipilli pour ces beaux billets.
    Je veux juste faire remarquer que les deux graphiques en début d’article sont (subtilement) différents: Là où le premier s’étend sur une durée allant de 1870 jusqu’aux environs des années 1980, le second démarre en 1928 et se termine au début de 1980. Résultat, la ligne en points tillés du second graphique est « étirée ». De plus, les lignes pleines me semblent assez ressemblantes et les points d’inflexion des lignes en points-tillés se font au mêmes périodes (du mieux que je puisse en juger). La seule chose que je ne m’explique pas, c’est la valeur de l’index, qui est aux alentours de 150 dans le premier et 1000 (!) dans le deuxième.
    P.S.: Bluffantes, ces p’tites urnes…

    • 02/09/2012 at 22:54

      @Ertis: c’est vrai, je ne me suis pas plongé dans la source pour comprendre cette différence de valeur de p* (mais la source est accessible en pdf, dont le lien est sous le graphique).

  8. H
    01/09/2012 at 22:45

    En fait l’expérience de l’urne de Pólya, si on n’observe que les résultats, est indiscernable de l’expérience qui consiste à tirer d’abord p uniformément entre 0 et 1, puis à renvoyer des variables de Bernoulli de paramètre p.

    En particulier, la probabilité d’avoir 1 au tirage n+1 conditionnellement aux n premiers tirages est la même dans les deux modèles ; c’est assez facile à voir et je trouve que c’est la façon la plus simple de comprendre l’urne de Pólya.

    • 02/09/2012 at 22:55

      @H: comme quoi la simplicité est une affaire très subjective 😉

  9. 06/09/2012 at 12:47

    Super billet ! Le parallèle avec la Bourse est en effet très pertinent !

    Dans le cas du prix des actions, il y a quand même en principe un petit mécanisme stabilisateur, c’est le dividende. Si le seul profit que l’investisseur espère est celui de la plus-value à la revente, alors oui son seul but est d’essayer de deviner comment va réagir le marché. En revanche s’il attend aussi de gagner du dividende, ça permet d’ancrer son raisonnement dans un truc plus objectif (les performances de la boite), indépendamment de ce qu’en pense ‘le marché’.

    C’est pour ça je je suis toujours un peu surpris quand on crache sur les versements de dividendes aux actionnaires, ça me paraît un bon moyen de mettre un peu de réalité dans le grand jeu de la bourse.

    Un analogue du dividende dans l’urne de Polya ? (peut être un tirage légèrement biaisé par une donnée objective ? => peut être une simulation va t elle monter qu’un tout petit peu de ça suffit à stabiliser le système ?)

    • 07/09/2012 at 00:05

      @David:Sur une action non côté c’est vrai que les dividendes sont une manière très objective de calculer la valeur d’une action. Mais il en va tout autrement pour les actions cotées en bourse (qui sont celles dont on parle). En effet, le versement du dividende est directement répercuté sur le prix de l’action me matin même de son versement et c’est très logique: sinon il suffirait d’acheter une action la veille du versement du dividende et de la revendre le lendemain, et on deviendrait comme ça milliardaire sans aucun risque! Autrement dit contrairement à ce qu’on peut lire un dividende d’une action cotée ne créé jamais de richesse supplémentaire pour l’actionnaire, il ne fait que lui rendre sous forme de trésorerie une partie de la valeur de ses actions. Si les grands actionnaires aiment bien ça c’est juste parce que le versement de dividende leur fait de la trésorerie tout en conservant leur nombre d’action. C’est commode pour ne pas être dilué. J’avais écrit un billet à ce sujet qui reste d’actualité: http://webinet.cafe-sciences.org/articles/aimez-vous-les-dividendes/

  10. Céline
    11/08/2014 at 12:57

    Bonjour,

    Il semble que votre première illustration est à rebours de votre propos.

    En effet, comme un commentateur vous l’a déjà indiqué, les échelles temporelles des deux graphiques sont différentes.

    Or, si l’on essaye de se représenter mentalement la superposition des deux courbes à une échelle similaire, on devine au contraire une certaine corrélation. Cela ne s’accorde pas très bien avec votre remarque mentionnant un « vague rapport ».

    Céline

  11. 12/08/2014 at 13:52

    @Céline: il y a un gros malentendu sur la lecture des graphiques! Comme l’indique la légende (en anglais)il faut comparer sur CHAQUE graphique l’évolution du cours constaté (en ligne pleine) et ce qu’aurait dû valoir le cours a posteriori (ligne pointillée) s’il avait reflété la valeur fondamentale. On voit bien que sur aucun des deux graphiques les lignes pleines et pointillées ne correspondent.

    « si l’on essaye de se représenter mentalement la superposition des deux courbes à une échelle similaire, on devine au contraire une certaine corrélation »: forcément il s’agit dans les deux cas de l’indice du Dow Jones, pondéré différemment et sur des échelles de temps différentes…

    Bon mais je reconnais quand même que présenter deux graphiques cote à côte prête à confusion, même si l’interprétation est expliquée dans la légende 😉

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