L’urne de Polya

source: K. BEDFORD / REUTERS (repris du site 20minutes.fr)

Un actif financier a-t-il une valeur objective?

Introduite en bourse à 42$, l’action de Facebook n’en vaut plus que 19 aujourd’hui. Les perspectives économiques du plus grand réseau social auraient-elles fondu en six mois de temps? Mais au fait que vaut VRAIMENT une action? A en croire les manuels d’économie, la « valeur fondamentale » d’une action se calcule en estimant la valeur des profits futurs que réalisera la société année par année jusqu’à sa disparition, en convertissant ces profits futurs à leur valeur actuelle (compte tenu du risque sur le futur, de l’inflation etc) et en additionnant le tout. Quand on voit le mal qu’on a pour estimer la croissance l’an prochain, je vous souhaite bon courage pour calculer les profits de Facebook en 2020…

Cette incertitude totale concernant le futur a conduit certains économistes comme André Orléan [1] à remettre complètement en cause l’idée même de cours fondamental. Pour s’en convaincre, il suffit de comparer historiquement les cours de Bourse avec la valeur économique « fondamentale » que je vous ai décrite, que l’on peut calculer a posteriori:

Source: Schiller, 2003 (pdf)

On voit qu’il n’y a au mieux qu’un vague rapport entre les deux notions…

Le concours de beauté de Keynes

Si personne n’a la moindre idée sur les performances futures d’une entreprise, chacun se fait en revanche une opinion sur l’évolution future du cours de l’action en fonction des informations qu’il glane à son sujet. Et surtout en se fondant sur « l’opinion du marché ». Car comme l’écrit l’économiste Pierre Balley (toujours cité par Orléan), » peu importe la qualité du raisonnement s’il doit être démenti par la Bourse, c’est-à-dire par l’opinion collective qui y prédomine. Pas plus qu’un homme politique, le gestionnaire ou l’analyste ne peut avoir raison contre l’opinion majoritaire de ses électeurs : c’est le marché qui vote. » Dans une métaphore célèbre, Keynes compare la Bourse à un concours de beauté où les participants doivent voter pour 6 visages parmi 100. Est récompensé le votant dont les préférences se rapprochent le plus de celles de la moyenne des votants. Dans ce concours explique Keynes l’enjeu n’est pas de voter pour le visage que l’on trouve le plus beau, mais de trouver celui que l’on pense le plus propre à obtenir le suffrage des autres votants… sachant que tout le monde fait le même raisonnement!

Comment concilier spéculation totale et stabilité?

Sur un marché de biens classiques, un prix trop élevé fait baisser la demande ce qui finit par pousser les prix à la baisse. De tels stabilisateurs n’existent pas sur un marché financier puisque chacun doit anticiper sur les croyances des autres même s’il ne les partage pas. Dans un tel système de spéculation généralisée, les prix sont donc complètement instables et l’on conçoit qu’ils dérivent régulièrement en bulles ou en krachs phénoménaux. Mais la Bourse n’est pas en crise tous les jours. Par quel miracle les prix restent-ils stables la plupart du temps?

C’est sans doute pour expliquer cette stabilité que les économistes restent attachés à l’idée qu’à chaque action correspond quand même une valeur « raisonnable », sorte de point de repère objectif sur lequel les experts s’accorderaient s’ils ne spéculaient pas. Une valeur autour de laquelle se stabilise le prix de l’action en temps normal. Ne pourrait-on expliquer tout à la fois les hoquets de la Bourse et ses phases de  stabilité par la pure spéculation, sans devoir invoquer l’existence d’une valeur objective?

Il vous est certainement arrivé de vous promener avec quelqu’un et de vous rendre compte au bout d’un moment que chacun suivait l’autre sans que personne ne sache où il allait. Pourtant votre parcours n’a pas été forcément erratique et vous êtes bien arrivés quelque part. Il me semble qu’on peut imaginer quelque chose de semblable pour le cours de Bourse…

Connaissez-vous les urnes de Polya?

Non l’urne de Polya ne ressemble pas à ça…

J’ai découvert cet été les fascinantes « urnes de Polya ». Non pas dans un musée sur l’Antiquité mais dans un livre sur la finance [2]. Voici ce dont il s’agit: une grande urne devant vous ne contient au départ qu’une boule noire et une boule blanche. Vous y piochez une boule au hasard et vous la remettez immédiatement dans l’urne en ajoutant une boule de la même couleur: si par exemple vous avez pioché une blanche, votre urne contient désormais deux blanches et une noire. Vous recommencez le processus un très grand nombre de fois et votre urne se remplit peu à peu de boules.

 

L’arbre de remplissage de l’urne de Polya

Comment évolue selon vous la proportion de boules blanches: va-t-elle converger vers une valeur ou pas? Et surtout vers quelle valeur: 0? 0.5? 1? Pendant que vous réfléchissez, je prépare un tableur pour simuler tout ça.

Voilà les résultats sur 200 tirages:

La proportion de blanches oscille fortement au début, puis les oscillations s’amortissent et la proportion de blanches semble comme attirée vers une valeur-cible. On dirait bien que ça converge vers 0,4. Si on recommence l’opération depuis le début, le résultat converge de nouveau, mais vers une autre limite! J’ai fait le test sur 500 urnes différentes et noté combien de fois apparaissait chaque attracteur (arrondi à une seule décimale):

Toutes les valeurs sont équiprobables: il y a autant de chance qu’un tirage converge vers 0,4 que vers 0,6 ou 0,9. Le point d’atterrissage dépend uniquement de l’historique des tirages, du « chemin parcouru » comme diraient les physiciens. Mais cette dépendance est assez spéciale. Par exemple si après le deuxième tirage l’urne contient deux boules de chaque couleur, la valeur-limite a très peu de chance d’être inférieure à 0,1 ou supérieure à 0,9:

Les premiers tirages ont donc beaucoup d’influence sur la valeur de l’attracteur, les tirages suivants un peu moins et ainsi de suite (on se doute que le 100eme tirage n’aura pratiquement aucun impact). Le sort de la valeur-limite se joue donc assez rapidement au cours des premières dizaines de tirages mais sans se dévoiler. Ce n’est que plus tard, lorsque les fluctuations perdent de leur volatilité « s’engluent » sous l’accumulation des tirages, que commence à se deviner l’existence d’un attracteur. Entre le 30eme et le 70eme tirage sur mon premier graphique. La valeur de l’attracteur ne se révèle que dans une troisième phase (après le 70eme tirage): il semble libéré de l’aléatoire qui l’a fait naître et comme doté d’une existence propre. Cette émergence progressive me fait penser à une métamorphose d’insecte…

Ce déterminisme qui émerge d’un phénomène aléatoire (le tirage des boules) est l’inverse exact du chaos, dont le résultat apparemment aléatoire résulte paradoxalement de règles déterministes.

Urne de Polya: règles aléatoires -> convergence vers une limite arbitraire mais rapidement décelable.
Chaos: règles déterministes -> aucune convergence, imprédictibilité permanente.

Quand le déterminisme émerge de l’aléatoire.

Pour voir le rapport avec le cours de Bourse, il suffit d’imaginer deux actions différentes proposées au marché avec le même prix initial. Chaque agent entrant sur le marché doit acheter l’une ou l’autre de ces actions et comme il n’a aucune idée de ce qu’elles représentent, il imite aléatoirement la tendance du marché (ou ce qui revient au même, il adopte le même comportement qu’un des agents du marché). Comme pour l’urne, la proportion de choix entre les deux actions finit par se stabiliser autour d’une valeur arbitraire. Cette proportion n’est rien d’autre que le prix relatif qui s’établit spontanément entre les deux actions. Le modèle est bien entendu trop simpliste mais vous saisissez l’idée: un point de référence très stable peut émerger et s’imposer au marché alors qu’il est né de l’aléatoire le plus total. On trouvera ensuite d’excellentes raisons pour justifier a posteriori sa valeur et spéculer sur son évolution future en fonction des informations sur l’état du monde, le déficit commercial américain, le conflit Syrien etc.

On peut trouver d’autres applications à ce petit modèle: la valeur d’une oeuvre d’art mise pour la première fois sur le marché par exemple, n’est définie que par l’idée qu’on se fait de la popularité qu’aura l’oeuvre dans le futur. Pas facile avec l’art contemporain! Pourtant, avec un mécanisme similaire à celui de l’urne de Polya, on peut concevoir que le prix d’une oeuvre se construise dans le temps et acquiert un « prix de marché » aussi stable qu’il est arbitraire.

Plus un fait est marquant, plus on a tendance à lui trouver une cause objective. Le modèle de l’urne avec double remise a le mérite d’illustrer en quoi cette intuition peut-être trompeuse. Un observateur qui ne saurait pas comment fonctionne l’urne et n’en observerait que les résultats numériques serait évidemment tenté de chercher une explication rationnelle à la valeur-limite qu’il observerait. De la même façon, on peut imaginer que la suprématie d’une technologie sur une autre (VHS contre Betamax, Blue-Ray contre HD DVD) ou d’un pôle géographique à une époque donné ait procédé de la même accumulation d’événements aléatoires, amplifiés par le mimétisme des acteurs. L’urne de Polya, c’est finalement une grande leçon d’humilité!

Sources
[1] voir par exemple un des articles d’André Orléan sur la déconnexion entre valeur fondamentale et prix des actions
[2] Didier Sornette, Why Stock Markets Crash
Sur les urnes de Polya, rien de mieux que cet article sur culture Maths
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La fièvre de l’ordre: une autre forme d’ordre spontané en physique, qui émerge de l’aléatoire le plus total

18 comments for “L’urne de Polya

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