A l’infini et au-delà!

C’est assez facile de comparer les grandeurs des objets physiques autour de nous: un bâton est plus grand qu’un autre, si la longueur du plus petit tient dans la longueur du plus grand. Le tout est plus grand que ses parties, nous a appris Euclide, et on le vérifie avec un sac de billes rouges et bleues: il contient plus de billes que lorsqu’on lui retire toutes ses billes rouges. Evident non?

Pour les ensembles infinis, le tout est aussi grand qu’une de ses parties
Ce qui est vrai pour les sac de billes ne l’est pas pour les collections infinies d’objets. Comparons le sac des nombres entiers (0,1,2,3 etc) avec celui de tous les nombres entiers pairs (0,2,4,6 etc). Si l’on applique le raisonnement ci-dessus, l’ensemble des nombres entiers contient les nombres pairs, ergo il est plus grand… En fait les choses ne sont pas aussi simples quand on traite des ensembles infinis: pour savoir si deux ensembles infinis ont la même « taille », on regarde si on peut faire correspondre chaque élément de l’un avec un et un seul élément de l’autre (ce type de correspondance terme à terme s’appelle une bijection). Or on peut parfaitement faire correspondre chaque nombre entier avec un nombre pair et vice versa: il suffit d’associer chaque nombre entier n avec son double 2n (qui est pair). Donc il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers! Bienvenue dans les mystères de l’infini où le tout peut être exactement aussi grand qu’une de ses parties. Cette drôle de propriété signe d’ailleurs l’infinitude de l’ensemble (enfin, là je spécule…).

En raisonnant de la sorte on montre que l’ensemble des entiers ( de son petit nom: 0,1,2,3…) est de la même « taille » que tous ses sous-ensembles infinis: il y autant d’entiers que de nombres pairs (on l’a vu), de nombres premiers (divisibles seulement par 1 et par eux-mêmes comme 1,3,5,7,11,13,17,19…), de carrés parfaits (1, 4, 9, 16…). L’hôtel de Hilbert qui possèderait une infinité de chambres toutes occupées, pourrait toujours accueillir des hordes de bus contenant chacun une infinité dénombrable de clients. Il suffirait de transférer chaque occupant d’une chambre n vers une autre chambre (de numéro 2n par exemple si l’on veut doubler la capacité de l’hôtel) et de loger les nouveaux arrivants dans l’infinité de chambres ainsi libérées.

Et de la même manière, a la même taille que des ensembles plus grands, par exemple l’ensemble des « entiers relatifs » (les nombres entiers positifs et négatifs:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3 etc.) [Lecteurs non matheux: sautez les paragraphes en italiques comme ci-dessous, pour vous éviter les maux de tête…]

Rationnels et irrationnels: si proches et pourtant si différents...
Plus étonnant encore, il y a autant de fractions rationnelles (rapport entre deux nombres entiers relatifs) que d’entiers naturels!

Prenez un intervalle [a,b], de dimension b-a=ε très petit. Vous pouvez trouver un entier n tel que n>1/ε, puis le plus grand entier p tel que p/n≤a On peut écrire a < (p+1)/n

Pour prouver que est de même taille que ]0,1[, il suffit de considérer la fonction qui associe à tout réel x, f(x)=1/2 [1+x/(1+|x|)]
Cette fonction « projette » tous les nombres réels entre O et 1…

On prouve ensuite que ]0,1[ n’est pas dénombrable grâce à la célèbre diagonale de Cantor, en raisonnant par l’absurde.

Supposons que ]0,1[ soit dénombrable: cela signifie qu’à tout réel x on peut associer un unique nombre décimal u_n.

Considérons la diagonale des décimales u_ii (la fameuse diagonale qui a donné le nom à ce théorème) et imaginons le nombre x=0,x₁x₂x₃…. dont chaque décimale vaut x_i = 1 si u_ii≠1 et x_i = 2 si u_ii=1.

x diffère de u₁ au niveau de la première décimale (x₁≠ u₁₁), x diffère de u₂ au niveau de la seconde (x₂≠u₂₂) et de manière générale x diffère de u_n au niveau de la n^ième décimale (car x_n≠u_nn) .

x est bien un nombre décimal compris entre 0 et 1 et pourtant on ne peut le faire correspondre avec aucun des nombres de la collection des (u_n), ce qui est contradictoire avec l’hypothèse que ]0,1[ est dénombrable…

La taille des infinis
Récapitulons: est à la fois dense dans ( les deux ensembles sont inextricables en quelque sorte l’un de l’autre) et pourtant l’un est dénombrable et l’autre pas. La taille de est appelée ℵ₁ (c’est la lettre hébraïque Alef, les mathématiciens adorent les écritures anciennes), celle de et de tous les ensembles dénombrables est appelée ℵ_0.

L’une des grandes questions encore mal résolue est de savoir si est le plus petit ensemble non dénombrable ou s’il existe d’autres ensembles de taille intermédiaire entre et . Autrement dit existe-t-il des infinis de taille ℵ_0,5? Cantor émit l’hypothèse que non mais l’on a démontré en 1963 que cette question était en fait indécidable, à moins d’admettre même en admettant un axiome supplémentaire (l’axiome du choix) pour que ce type d’infini existe. Indécidable, c’est à dire qu’on ne pourra démontrer ni que c’est vrai ni que c’est faux: c’est bizarre mais c’est comme ça!

Considérons l’ensemble F des fonctions f : [0,1] {0,1} qui ne prennent comme valeurs que 0 et 1. Supposons qu’il y ait autant de telles fonctions f que de réels dans ]0,1[. A chaque réel x de ]0,1[, on peut faire correspondre une unique fonction f_x de F et vice versa. On procède comme pour la diagonale de Cantor: construisons la fonction g telle que : g(x) = 1 si f_x(x) = 0 et g(x) = 0 si f_x(x) = 1. g est bien une fonction de F prenant comme valeurs 0 et 1 et pourtant g ne coincide avec aucune des fonctions f_x puisque pour chaque valeur x, f_x(x)≠g(x) ce qui est contradictoire avec l’hypothèse d’une bijection entre F et ]0,1[… Le nombre de fonctions de F est donc supérieur au nombre de réels contenus dans ]0,1[, donc au nombre de réels de .

Prenons un ensemble E d’objets x et appelons (E) l’ensemble des parties de E. Supposons qu’il existe une bijection entre E et (E): à chaque élément x de E, on peut faire correspondre un sous-ensemble de E qu’on appellera P_x. Vous êtes habitués maintenant aux constructions bizarroïdes: ici on va définir le sous-ensemble P de E constitué des éléments x qui n’appartiennent pas à leur correspondant Px. Comme il existe une bijection entre E et (E) il existe un élément y correspondant à P et P=P_y. y appartient-il à P? Non car dans ce cas y appartiendrait à son correspondant P_yy, y appartient à P par construction même de P. Si vous avez perdu le fil, relisez ces deux phrases et laissez mariner un petit moment. On aboutit à une contradiction qui prouve qu’il n’existe pas de bijection entre un ensemble et ses parties.

Au fait, d’où vient ce drôle de symbole, désignant l’infini par un 8 couché? Même sur ce point, la réponse n’est pas tranchée: est-ce le descendant du CIƆ romain, désignant le nombre « mille » avant que l’on n’utilise la lettre M? Est-ce l’hériter de l’oméga minuscule ω, dernière lettre de l’alphabet grec? Ou s’agit-il de la représentation graphique du « serpent-infini » du dieu Vishnu, enroulé sur lui-même comme un huit renversé?