Ce n’est que bien plus tard, en fouillant sur internet que je réalisai à quel point il avait raison… Jusque là je croyais que la forme ronde d’une planète venait du fait qu’elle s’était formée à l’état liquide et que la tension de surface y avait agi comme sur une goutte d’eau ou une bulle de savon: pour un volume donné la sphère correspond à la forme de surface (donc de tension) minimale. Pas d’histoire de gravité ou d’effet de taille là-dedans. Mais c’est là bien sûr où mon explication cloche: il suffit de regarder le zoo des corps célestes en fonction de leur taille [2]…

(source ici)

Quelle est la hauteur des montagnes?
Et puis on s’aperçoit aussi que contrairement à l’intuition, plus la planète est grande, moins ses montagnes sont hautes! Alors que Mars est deux fois plus petite que la Terre, le Mont Olympe fait trois l’altitude de l’Everest. D’accord c’est difficile de parler d’altitude sur une planète où il n’y a pas d’eau. Mais même en tenant compte de la partie immergée des volcans, le recordman terrestre, Mauna Kea (Hawaï) n’arrive qu’à mi-hauteur de son homologue martien:

(source Wikipedia)

Si l’on y réfléchit bien, cette histoire de montagnes est moins paradoxale qu’il n’y paraît. Sur une planète plus petite, la gravité est moindre et les choses peuvent plus facilement monter haut. Une montagne peut s’élever tant que sa base supporte son propre poids. Si elle est trop haute, il s’exerce une telle pression à sa base que celle-ci “fond” et la montagne n’est plus stable. La hauteur maximale d’une montagne est donc celle pour laquelle le poids de la montagne exerce une pression limite sur sa base.

Une planète deux fois plus petite doit donc avoir des montagnes deux fois plus hautes (si sa composition, sa densité, tout ça sont pareilles): exactement les proportions qu’on observe entre Mars et la Terre!Plus c’est gros, plus c’est rond…

Force électrique contre gravitation
Reste à comprendre ce qui se passe en dessous de cette taille critique. Qu’est-ce qui donne sa cohésion à la matière et lui donne des formes stables dans le temps? Ecartons déjà les interactions nucléaires fortes ou faibles, qui n’ont d’effet qu’à l’échelle de l’atome (10^-9m). Il n’y a que deux candidats sérieux à notre échelle (entre disons 1 cm et 1km): la force de gravité dont on vient de parler, et l’attraction électrique qui « accroche » les molécules les unes aux autres. Ces deux forces décroissent de la même façon avec le carré de la distance. Mais leur différence d’intensité est colossale. On peut pour s’en faire une idée comparer leur effet respectif sur une particule élémentaire comme le proton, servant d’étalon pour l’unité de masse et pour l’unité de charge:
L’attraction gravitationnelle entre deux protons distants de un mètre l’un de l’autre vaut
F_grav ~ Gm² = 10^-10 (10^-27)²=10^-64N, pas grand chose donc.
A côté de ça, leur répulsion électrique  vaut F_elec=q²/4πε ~ 10¹⁰(10^-19)²= 10^-28 N, pas grand chose non plus mais infiniment plus que la force de gravité! Le rapport entre ces deux forces est de 10³⁶, c’est-à-dire à peu près le même qu’entre entre la taille d’un atome (10^-10m) et celle de l’univers observable (10 milliards d’années lumière soit 10²⁶m)!

« Unitairement », la gravitation ne pèse donc RIEN (si j’ose m’exprimer ainsi) par rapport aux forces électriques. Mais alors pourquoi la gravitation deviendrait-elle prépondérante sur la force électrique à l’échelle d’une grosse planète? La réponse vient du fait que les forces électriques sont certes très puissantes, mais elles peuvent être soit attractives ou soit répulsives suivant le signe des charges. Dans un morceau de matière électriquement neutre, la force électrique exercée par les milliards d’électrons qui s’y trouvent est certes monstrueuse, mais elle est très exactement compensée par une force inverse, créée par les milliards de protons qui s’y trouvent aussi. Comme deux frères jumeaux très costauds qui tireraient une corde chacun dans un sens opposé. « L’équilibre est si parfait, expliquait Feynman dans une de ses conférences, que lorsque vous vous tenez près de quelqu’un d’autre, vous ne sentez aucune force. S’il y avait un très léger déséquilibre vous le sauriez. Si vous vous teniez à un bras de distance de quelqu’un et que chacun de vous ait un pour cent d’électrons de plus que de prodtons, la force de répulsion serait incroyable (…) La répulsion serait suffisante pour soulever une masse égale à celle de la Terre entière.” C’est un peu la même histoire que pour la pression atmosphérique, dont on a du mal à croire qu’elle représente une force de 1kg sur chaque cm2 de notre corps.

Echelle arithmétique contre échelle géométrique
Du fait de ces effets de masquage, la force électrique se réduit donc à une portée très locale: elle ne se fait sentir qu’au niveau moléculaire pour accrocher les atomes les uns aux autres. C’est donc elle qui donne sa cohérence aux objets qui nous entourent, à la matière ordinaire. Mais en l’absence d’effet cumulatif, la « force de cohésion » d’origine électrique est indépendante de la taille des objets. La force qu’il faut déployer pour arracher un clou à son support est indépendante des dimensions du mur et il n’est pas plus dur de puiser de l’eau dans un grand lac que dans un petit.

source ici

“Le homard est meilleur s’il est ébouillanté vivant » lisais-je récemment sur un site de cuisine. Ben voyons! J’aimerais bien les y voir, moi, quand on a les mains qui tremblent, un bestiau qui se débat et une casserole trop petite. Heureusement qu’on trouve aussi sur Internet des astuces pour âmes sensibles: le mettre dans le congélateur pour l’engourdir ou lui faire faire un peu de balançoire en le tenant par la queue, tête en bas. L’efficacité est quand même douteuse à en croire les vidéos qui traînent:

Non, le mieux c’est encore d’hypnotiser votre malheureux homard en le regardant au fond des yeux et en lui parlant doucement. Ou plutôt, en lui faisant faire le poirier et en lui caressant gentiment le dos. Résultat garanti:

Cette étrange manipulation m’a rappelé une expérience personnelle en Amazonie il y a quelques années. Le guide avait attrapé un petit jacari, un de ces alligators qui pullulent là bas,  et m’avait montré comment l’endormir très facilement. Il l’avait retourné sur le dos et s’était mis à lui caresser le ventre. L’animal, par ailleurs pas totalement sympathique lorsqu’il est sur ses quatre pattes,  était entré instantanément dans un état de léthargie complète et s’était laissé manipuler sans réagir. C’est manifestement un truc bien connu:

En réalité, cette manipulation semble faire son effet sur la plupart des animaux à sang froid: poissons, lézards, batraciens. Retournez une grenouille (comment ça vous n’avez pas ça sous la main?) et chatouillez-lui le ventre. Froggie s’endort immédiatement:

Pour les requins, variante: c’est sur le nez qu’ils kiffent les caresses:

Théoriquement, cela marche moins bien sur les mammifères. Quoique. Un lapin plonge rapidement en narcolepsie quand il se retrouve les quatre pattes en l’air. Il est pas mignon comme ça?

(source)

Pour les amateurs pervers, le mode d’emploi en vidéo est par ici.

Bon, mais pourquoi alors? En réalité, on ne sait pas trop ce qui déclenche cet état de catalepsie. Est-ce dû à une mauvaise (ou trop grande?) irrigation du cerveau dans cette position? Ou bien est-ce la vision d’un monde sens dessus-dessous qui plonge nos amies les bêtes dans un état de fascination hébétée? L’explication doit être ailleurs car d’autres positions moins renversantes semblent tout aussi efficaces. Pour mesmériser un mouton par exemple, tous les éleveurs savent qu’il suffit de l’asseoir sur son arrière-train. Il ne s’endort pas mais devient tout mou et se laisse tondre sans la moindre réaction…

Ces pratiques ne datent pas d’hier. En 1646 le savant Athanasius Kircher avait observé que les poules tombaient en catalepsie lorsqu’on les plaquait au sol et qu’on traçait devant leur bec un trait rectiligne sur le sol.

En fait, il semble que tracer des traits au sol ne soit pas vraiment nécessaire, seule compte l’immobilisation de l’animal pendant une bonne minute. Par contre le regard de l’expérimentateur est très important: la poule s’immobilise d’autant plus facilement qu’elle se sent observée, surtout si elle est stressée ou effrayée. On observe la même chose chez les jeunes rats (mais pas chez les adultes). C’est ce qui conduit les biologistes à penser que cette atonie complète pourrait être un réflexe de défense ultime, permettant à une proie de ne pas se faire repérer ou du moins de ne pas exciter son prédateur. Les jeunes animaux sont coutumiers de cette stratégie: le faon du chevreuil se couche lorsque sa mère réagit à la présence d’un danger et quand un groupe de vanneaux détecte un prédateur, les adultes s’envolent tandis que les oisillons qui ne savent pas encore voler se couchent par terre en entendant leurs cris d’alerte. Les jambes coupées par la panique en somme…

(source)

Mais le champion toutes catégories en la matière c’est quand même l’opossum. Contrairement à nos souris européennes, ce petit marsupiaux a bien compris qu’il est bien moins appétissant quand il feint d’être mort que quand il gigote:

Même adultes, les chats sont comme anesthésiés quand on les pince derrière la nuque. A tel point qu’en leur posant des clips le long de la colonne vertébrale, les vétérinaires peuvent les manipuler sans souci, les renverser sur le dos, leur couper les griffes et même réaliser des petites interventions chirurgicales sans qu’ils souffrent.

Cette docilité est-elle seulement un réflexe conditionné chez les chats depuis leur plus jeune âge? Pas vraiment, car la même technique de « clipnose » (hypnose à base de clips) marche aussi pour les vaches, alors qu’elles n’ont pas à ma connaissance l’habitude de trimballer leur progéniture par la peau du cou. Cette technique mise au point par le Dr Toutain de l’École Vétérinaire de Toulouse s’apparente à de l’acupuncture version maousse costaud. Il suffit de clipser plusieurs pinces sur la peau du dos de l’animal, le long de ses cervicales, pour qu’il s’effondre sur lui-même et s’immobilise. La  vidéo sur ce site est particulièrement impressionnante (et je ne vous parle même pas de la coiffure de PPDA en 1978).

Voilà comment on pourrait faire évoluer les corridas en un spectacle moins cruel: il suffirait de troquer les banderilles pour quelques bonnes paires de pinces à clipser sur la peau du cou du taureau. Spectacle garanti et sans une goutte de sang!

(source)

(source)

A tenter avant votre prochain filet mignon?

Pour aller plus loin:
Albert Demaret, De l’hypnose animale à l’hypnose humaine
J-P Toutain, Hypnose (clipnose) chez l’animal

Il y a dans cette valeur limite quelque chose de très dérangeant pour l’esprit. Comment une théorie qui postule que la vitesse de déplacement n’a aucune importance peut en même temps interdire à celle-ci de dépasser une certaine valeur? Pourquoi serait-il plus dur de gagner quelques mètres par secondes quand on approche de la vitesse de la lumière? Le paradoxe n’est évidemment qu’apparent, mais j’ai découvert que Jean-Marc Lévy-Leblond avait suggéré à la fin des années 1970 une élégante manière d’y répondre. Il nous propose rien de moins que de changer notre point de vue sur ce qu’on appelle la vitesse. Je vous en présente une version très simplifiée en embarquant dans un vaisseau spatial imaginaire allant très très vite…

Les trois vitesses

Fendant l’espace et voyant défiler les étoiles par les hublots vous songez aux différentes manières de mesurer votre vitesse de déplacement? Vous avez a priori trois façons de vous y prendre…

1ère méthode (pour les flemmards): la vitesse

Vous consultez la table des horaires dans le Milky Way News et en divisant simplement la distance du trajet (x) par la durée du voyage (t) vous trouvez votre vitesse V=x/t telle qu’elle  est mesurée depuis la station internationale. Vous savez que cette vitesse ne peut dépasser la vitesse de la lumière (300 000 km/s environ). Mais cette vitesse est calculée à partir des délais et des durées mesurés dans un autre référentiel que le vôtre: et ça c’est pas top, car vous avez lu votre Einstein et vous savez que ces mesures dépendent du référentiel choisi (la fameuse contraction des durées et dilatation des longueurs…). C’est d’autant moins satisfaisant que vous devez compter sur la station internationale pour vous communiquer ses mesures à chaque instant, ce qui ne convient pas trop à un esprit autonome comme le vôtre. Next please!

2eme méthode (pour les pressés): la célérité

Dans la vraie vie, on chronomètre soi-même son temps de trajet: c’est comme ça que votre GPS calcule votre « vitesse » instantanée. Cette méthode revient au même tant que l’on considère le temps comme une valeur absolue, dont la mesure est indépendante de l’observateur. En mécanique relativiste, par contre, le temps mesuré depuis votre fusée et qu’on appelle votre « temps propre » (τ), est différent de celui mesuré depuis la station internationale (t). Du coup si vous allez très vite, la quantité (x/τ) que vous mesurez n’est pas votre vitesse (x/t), mais votre célérité. Du fait de la contraction des durées, τ est plus petit que t et votre célérité est plus grande que votre vitesse. Elle peut sans problème dépasser la vitesse de la lumière. Le problème avec cette notion c’est qu’elle mélange un délai mesuré dans votre référentiel avec une longueur mesurée dans un autre. Ce qu’on aimerait c’est pouvoir mesurer sa « vitesse propre » (x’/τ) sans dépendre des mesures prises ailleurs!

3eme méthode (pour les aveugles): la rapidité

Comment faire si vous n’avez pas de carte, pas d’instrument de communication et qu’un nuage cosmique vous prive de tout repère visuel? C’est le problème que doivent résoudre les tachymètres embarqués dans les missiles (ou plus simplement dans certaines manettes de jeu). Facile, il vous suffit d’un fil à plomb! Je m’explique: à chaque instant, la variation de votre vitesse est dictée par l’accélération que subit votre fusée. Il vous suffit donc de mesurer l’accélération subie à chaque instant pour en déduire l’évolution de votre vitesse propre pendant un certain laps de temps. Or l’accélération est une valeur absolue, un truc invariant dans tous les référentiels, qu’on peut mesurer en observant son effet sur la déviation d’un fil à plomb (si vous êtes dans un champ de pesanteur) ou sur tout autre système qui se déforme facilement.

En compilant les variations infinitésimales de votre vitesse propre, vous obtenez une mesure (à une constante près) de ce qu’on appelle la « rapidité » (x’/τ). Encore une notion différente de la vitesse et de la célérité quand on approche des très grandes vitesses.

Il suffit de décider arbitrairement à quel moment on est « immobile » et voilà! Vous me suivez?

Lucky Luke, c’est vous!

Ce qui est remarquable avec la rapidité, c’est que non seulement on n’a besoin de personne pour la mesurer mais surtout qu’elle a toutes les propriétés intuitives de ce qu’on appelle d’habitude une « vitesse ». Elle peut par exemple prendre toutes les valeurs qu’on veut (d’autant qu’elle est définie à une constante près). Dans votre prochain dîner en ville vous pourrez donc affirmer tranquillement:

« Je suis personnellement plus rapide que la vitesse de la lumière,
même si je vais bien entendu moins vite
et que la lumière est infiniment plus rapide que moi. »

En effet la rapidité de la lumière est infinie car le temps propre ne s’écoule pas pour un photon.

L’autre propriété fascinante de la rapidité est qu’elle est additive, comme on s’attend à ce qu’une « vitesse normale » le soit. La rapidité de deux objets en mouvement l’un par rapport à l’autre est tout bêtement la somme de leur rapidité. Si dans mon référentiel, un objet a une rapidité r1 et un second une rapidité r2, la rapidité de l’un par rapport à l’autre est r1+r2. Pas de β, de γ ou de vitesse de la lumière à rajouter.

Mon quart d’heure de compulsion algébrique a sonné. En voici donc la preuve mathématique. Les âmes sensibles peuvent sans problème sauter le paragraphe suivant!

Vu du référentiel R, la fusée (et son référentiel R’) se déplace à la vitesse v.
Si un astronaute s’y déplace à la vitesse dv’ (vu de R’), sa vitesse vu de R est v+dv et se calcule avec la loi de composition relativiste des vitesses:

. On développe en ignorant les termes du second ordre (en dvdv’) et on trouve:

c’est-à-dire ou encore défini à une constante près.

Quand v/c est tout petit, ça donne …

Je vous épargne les calculs, mais si l’on exprime la matrice de Lorentz en fonction de v’ (la matrice de Lorentz, c’est ce qui permet de passer du référentiel R au réferentiel R’ et de calculer x’ et τ en fonction de x et t), on trouve un truc très simple (mort de rire dit Xochipillette):

Additionner les rapidités v’₁ et v’₂, c’est composer entre elles deux matrices de Lorentz ayant pour paramètres respectifs v’₁ et v’₂. Or si vous appliquez les formules d’addition de trigonométrie hyperbolique, vous verrez que: La matrice résultante correspond à une rapidité v’₁+v’₂. La rapidité est donc bien une variable additive. Shazam!

Je sais pas vous, mais moi cette notion de rapidité réconcilie un peu mon intuition avec les résultats de la relativité. Par contre, cette propriété qu’a la rapidité de pouvoir s’ajouter peut vous sembler un peu magique, comme sortie du chapeau des mathématiques. Il n’en est rien! La semaine prochaine je vous raconterai pourquoi là aussi on pouvait s’y attendre…

Sources:
Le cours de Roland Lehoucq (2003) au festival d’astronomie de Fleurance (j’adore le nom), auquel j’ai emprunté les trois méthodes de mesure d’une certaine forme de vitesse.
L’article de Jean-Marc Lévy-Leblond, Additivité, rapidité, relativité (1979) qui m’a inspiré ce billet et sur lequel on reviendra au prochain billet.

Billets connexes:
La relativité lumineuse, même sans lumière: où comment on peut redémontrer les principes de la relativité restreinte sans postuler l’invariance de la vitesse de la lumière (une démonstration qu’on doit aussi à Jean-Marc Lévy-Leblond!)
Si l’a relativité générale m’était contée: pour faire d’autres expériences de pensée à bord de votre fusée intergalactique!

Vous n’avez qu’un couteau à votre disposition (ou une règle et un crayon pour ceux qui veulent résoudre cette énigme en gardant la ligne). Comment découper ce qui reste du gâteau (le grand rectangle moins la part blanche rectangulaire) en deux parts égales? Réponse demain!

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[26/01/2012] Bravo Neoidia! Il faut effectivement couper le gateau par une droite passant par les centres des deux rectangles.

Le centre d’un rectangle est l’intersection des diagonales, très facile à trouver avec un crayon et une règle (mais je vous concède que ce n’est pas forcément du gâteau quand on n’a qu’un couteau sur soi):

N’importe quelle droite passant par le centre d’un rectangle le partage en deux moitiés égales, donc la droite qui passe par ces deux centres coupe les deux rectangles en deux moitiés égales. Ya plus qu’à se servir!

Source: G. Dhont, B Zhilinskii: Symétrie dans la nature (édition PUG)

Les cellules de Bénard

La chaleur est considérée par les physiciens comme l’énergie la moins noble, celle qui est le plus dégradée. La thermodynamique ont même érigé ce bonnet d’âne en principe en affirmant qu’il est toujours plus facile de convertir n’importe quelle autre énergie (électrique, mécanique, chimique…) en chaleur que l’inverse: essayer donc de faire avancer votre vélo en refroidissant ses patins de freinage, pour voir… Le chaud semble donc aller de pair avec le désordre et les métamorphoses de la matière quand elle change de de phase dans la matière vont toujours dans cette direction: les états les plus ordonnés ne prennent corps que si la température est suffisamment basse: l’eau cristallise uniquement à moins de 0° (sous pression atmosphérique), la super-conductivité ne s’observe qu’à des températures très basses et les aimants ne possèdent leur propriété magnétique qu’en dessous d’une température critique. Même en cosmologie, les différentes forces (gravité, force électro-faible et électromagnétique, force nucléaire forte) n’ont vu le jour qu’à mesure que l’univers se refroidissait. Pourtant, on a vu dans le billet précédent que la convection thermique, aussi désorganisée soit-elle, est à l’origine du ballet bien réglé des geysers dans les zones volcaniques. Je vous propose donc de poursuivre cette réhabilitation de l’énergie thermique et d’explorer quelques drôles de phénomènes où l’ordre émerge spontanément du chaud et non pas du froid…

Comment refroidit votre bol de soupe?

Sans remettre en cause le deuxième principe de thermodynamique, il peut arriver que de la chaleur se transforme spontanément en mouvements plus ou moins cohérents. Pour le comprendre il faut que je vous parle un peu de convection.Vous êtes-vous jamais demandé pourquoi votre soupe refroidit plus vite qu’un bol de purée? Dans les deux cas, la chaleur se dissipe à travers les parois du bol et au contact de l’air ambiant, par conduction thermique. Mais la soupe a un joker: contrairement à la purée plus ou moins solide, le liquide s’agite dans votre bol quand il est chaud. La soupe du fond, plus chaude donc moins dense a tendance à remonter. Arrivée en surface, elle refroidit (par conduction), devient moins dense et coule à nouveau, entraînée par son propre poids. Visualiser ça dans la soupe n’est pas facile, par contre on peut se rendre compte du phénomène en laissant fondre un glaçon d’eau teintée dans un récipient d’eau et en regardant diffuser le même liquide teinté, mais chauffé cette fois à partir du récipient:

Plus la différence de température -le gradient- entre le fond et la surface  est grande, plus ces mouvements de convection sont intenses. C’est pour cela qu’on refroidit très vite sa soupe en soufflant dessus: non seulement on refroidit le liquide en surface (parce qu’on chasse la couche d’air chaud qui stagne au-dessus), mais en plus on accroît le gradient de température ce qui amplifie le phénomène de convection. Double effet kiss-cool!

A force de mélanges, la température finit par s’homogénéiser entre le fond et la surface. Lorsque le gradient de température devient trop faible, les flux de convection se heurtent à la viscosité du milieu et disparaissent. Le refroidissement ralentit car il n’a plus que la conduction thermique comme moteur. Par contre si votre soupe est sur le feu, le réchauffement permanent du fond de la casserole entretient les mouvements cycliques dans le liquide:

Mouais vous allez me dire que dans la vraie vie ces flux n’ont rien de très organisé. Où elle est l’auto-organisation là-dedans? Hors sujet Xochipilli? Remboursez! Un peu de patience, ami lecteur, j’arrive…

Les cellules de Bénard

En 1900, le physicien Henri Bénard fit une drôle de découverte en faisant justement chauffer une fine couche d’huile dans une casserole. Le liquide en surface formait comme des   »cellules » de formes régulières plus ou moins hexagonales:

Que se passe-t-il? Lorsque la couche de fluide est suffisamment fine et la différence de température suffisamment grande, les flux de convection s’organisent en petits rouleaux contigus et verticaux, au sein desquels le liquide circule de haut en bas soit dans un sens soit dans l’autre.

Il y a du monde en surface donc chaque cylindre tend à y occuper le maximum d’espace. Et quand on comprime des cylindres les uns contre les autres, ils se déforment en hexagones comme le font les alvéoles de cire des nids d’abeille (voir ce billet à ce sujet). Le même phénomène peut se produire avec de la lave affleurant à la surface du sol, comme ce qu’on observe sur la chaussée des géants, en Irlande:

C’est y pas de l’auto-organisation ça? On retrouve toujours les trois caractéristiques de l’auto-organisation, dont on a parlé dans le dernier billet: un apport permanent d’énergie (ici la chaleur), un phénomène auto-amplifié (la convection) et un feedback négatif (la gravité, combiné à la conduction et la viscosité). Mais il y a deux trucs intéressants en plus.

D’abord, le système combine stabilité et imprédictibilité: les cellules qui se forment restent stables malgré les perturbations du système mais en revanche il est impossible de prédire si tel rouleau circulera plutôt dans un sens ou plutôt dans l’autre. Exactement comme il était impossible de prédire si tel récipient de la génératrice de Kepler serait chargé positivement ou négativement. Les systèmes auto-organisés sont de parfaits compagnons de jeu: à la fois très fiables et en même temps un peu imprévisibles.

L’autre propriété fascinante est que pour une couche de liquide donnée, les cellules de convection n’apparaissent que dans une fourchette bien précise de gradients de températures. Lorsqu’on fait varier la température, la forme des cellules de convection peut changer brusquement (c’est ce qui rend leur mise en évidence difficile dans la vraie vie où la température n’est jamais parfaitement contrôlée). Les cellules peuvent se transformer en rouleaux parallèles ou même en spirales, comme des chercheurs l’ont mis en évidence dans les années 1990. Voilà ce que ça donne sur les simulations numériques:

C’est le propre des systèmes auto-organisés que de bifurquer brusquement lorsque certains paramètres franchissent des seuils critiques (comme la température d’ébullition ou de gel de l’eau par exemple). Et puis au-delà d’un ultime seuil, le système vire au chaos. Celui-ci porte bien son nom en général, mais il y a des exceptions là aussi. La plus célèbre se trouve même sous nos pieds!

Le magnétisme terrestre

De tous les phénomènes naturels, l’existence du champ magnétique terrestre est sans doute celui qui est le plus connu et le moins bien compris. On s’est longtemps imaginé qu’il était causé par l’aimantation des minerais à l’intérieur de la Terre. Et l’orientation Nord-Sud du champ magnétique semblait naturellement s’expliquer par la rotation de la Terre sur elle-même. Cette explication simple s’est effondrée lorsqu’on a découvert qu’il règne des températures très élevées au coeur de notre planète. A de telles températures (plusieurs milliers de degrés), tous les matériaux ont perdu toutes propriétés magnétiques.

L'intérieur de la Terre et son champ magnétique

Heureusement on sait comment fabriquer un champ magnétique même si l’on n’a pas d’aimant sous la main: il suffit de faire circuler un courant électrique dans un conducteur:

Bon, il ne reste plus qu’à produire un courant électrique. Simple: il suffit de déplacer un conducteur dans un champ magnétique, ou comme sur la dynamo de votre ancien vélo, un aimant à proximité d’un fil conducteur:

Ca ne vous aura pas échappé, il y a un truc qui ne colle pas: pour créer un champ magnétique, il faut du courant qu’on doit créer… avec un champ magnétique: on tourne en rond! C’est pourtant l’idée étrange qu’avança Sir Joseph Larmor dès 1919 pour expliquer le champ magnétique solaire. Il suggérait que si le courant induit renforçait le champ magnétique lui ayant donné naissance, l’effet dynamo pouvait s’auto-amplifier à partir d’un infime champ magnétique initial. Son article concluait de façon prémonitoire qu’un tel argument pourrait s’appliquer au champ magnétique terrestre, si l’on supposait que le noyau terrestre se présentait sous forme d’un conducteur liquide, ce qu’on ignorait à l’époque. Quelques années plus tard, on réalisa l’astucieux montage d’une telle dynamo auto-amplificatrice:

Si à la place du disque métallique qui tourne, vous imaginez du magma en mouvement, vous avez un joli modèle explicatif. Il suffit de supposer que le champ magnétique terrestre a pu germer à partir d’un tout petit champ provenant du reste du système solaire. En réalité, ça n’est pas si simple car le magnétisme fossile des roches montre que l’axe de notre champ magnétique s’est inversé plusieurs fois au cours de l’histoire de la Terre (dernière inversion il y a 300 000 ans paraît-il).  Qu’à cela ne tienne, un montage un peu plus complexe, mettant en oeuvre non pas une mais deux dynamos s’auto-excitant l’une l’autre, rend bien compte de ces effets d’inversion. Je vous présente la dynamo de Rikitake (cliquez pour agrandir):On retrouve dans ce montage tous les ingrédients des phénomène d’auto-organisation:
- la source d’énergie est ici l’énergie fournie pour faire tourner les disques;
- l’intensité du champ magnétique induit est auto-amplifiée;
- on a peu parlé jusqu’ici du feedback négatif qui limite l’intensité du champ magnétique. Il s’agit de la résistance électrique du montage et des forces de Laplace, qui s’opposent à l’augmentation du champ magnétique.

Coup d’Etat sur le second principe!

L’analogie est plus difficile à visualiser avec le magma terrestre, mais tant les simulations numériques que les expérimentations en laboratoire confirment la pertinence de ces modèles.

Même si on est encore très loin de tout bien comprendre à cause de la complexité des équations, une chose est sûre: le champ magnétique ne se maintient qu’à condition d’entretenir une rotation très rapide du système. Or la rotation de la Terre sur elle-même est trop faible pour agiter le magma avec une énergie suffisante. Tout le système repose donc sur la vigueur des flux de convection du magma qui dissipent la chaleur du noyau vers les couches extérieures du manteau terrestre. Ces flux de convection sont eux-mêmes entretenus par d’intenses réactions thermiques dans le noyau. L’énergie thermique joue donc un rôle absolument clé dans toute cette histoire et c’est drôle parce que c’est précisément elle qui empêche l’aimantation des métaux! Autrement dit la chaleur crée par chaos un champ magnétique qu’elle met d’habitude KO dans les aimants.

La plupart des étoiles et des planètes « vivantes » possèdent un champ magnétique propre. Peu de phénomènes sont donc à la fois aussi universels et aussi difficiles à modéliser dans le détail. Même si à notre échelle le champ magnétique terrestre semble très stable, son évolution est totalement imprévisible à l’échelle de quelques millions d’année, à cause de la non-linéarité des équations. Encore ce mélange typique de fiabilité et imprévisibilité! En tous cas, pour faire écho à un précédent billet, je ne suis pas sûr que l’on se serait aussi facilement rangé à l’idée de Gallilée que les mathématiques sont le langage de la Nature si la loi de la gravité avait été écrite dans une grammaire aussi compliquée…

Pour aller plus loin:

Sur les cellules de convection:
L’article de Wikipedia sur le sujet
L’article de Gunton et Xi sur les formes étranges qu’elle revêtent

Sur le magnétisme terrestre:
Le site de David Sterne et celui de Luxorion qui traitent très bien le sujet
Cet article publié par le CNRS.

La fontaine de Fontestorbes (source Wiki)

Laissez osciller librement un pendule et il finit par s’arrêter à son point le plus bas. Lâchez une goutte d’encre dans un verre d’eau et elle disparaît très vite en se diffusant. Les lois de la physique semblent être un hymne à la paresse: principe de moindre action, minimisation de l’énergie, dissipation spontanée des structures… au point que dans le langage courant, l’inanimé désigne aussi bien le « non vivant » (anima signifie « l’âme » en latin) que ce qui est immobile. Il existe pourtant de nombreux cas où le monde de l’inerte n’a pas grand chose à envier au vivant en matière de vitalisme. Je vous propose une série de billets consacrées aux propriétés inattendues qui caractérisent ces phénomènes d’auto-organisation. Comme ces propriétés ne coulent pas toutes de source, on commence aujourd’hui avec trois oscillations nées de l’eau qui s’écoule…

Le vase de Tantale
Dans la mythologie grecque, le roi Tantale fut condamné par les Dieux à de terribles supplices (il faut dire qu’il voulait leur servir son propre fils en rôti pour voir s’ils s’en apercevraient…). L’un de ces supplices consistait à l’assoiffer en abaissant le cours d’une rivière chaque fois que Tantale s’y penchait pour se désaltérer. Si vous voulez jouer à Zeus dans votre salle de bains, vous pouvez fabriquer vous aussi un « vase de Tantale », dont le niveau monte et descend quand on tente de le remplir au  robinet. Idéal pour rester sobre en période de réveillon!

Mon vase de Tantale à moi était un ancien flacon de liquide dentaire. Pas très grec dans l’esprit mais bien pratique pour fixer un petit tuyau sur son ouverture…

En Ariège où je vais souvent en vacances, la fontaine de Fonterstorbes s’écoule par intermittences régulières grâce à ce principe et fonctionne comme une véritable horloge à eau naturelle:

Mais il faut reconnaître que le phénomène est rare. Très rare même… Je vous ai parlé de mes succès pour en fabriquer un, mais je ne vous ai rien dit de mes difficultés pour y arriver! La plupart du temps, le siphon du flacon ne s’amorce (ou ne se désamorce) que partiellement. Lorsque le niveau d’eau atteint un des deux seuils critiques, des bulles d’air se glissent souvent dans le tuyau et en réduisent le débit. Il s’établit alors un équilibre entre le débit de remplissage et le débit (réduit) de vidange ce qui stabilise le niveau d’eau dans le flacon, soit à son maximum soit à son minimum. C’est d’autant plus agaçant qu’on ne parle nulle part de ce problème. Dans cette vidéo des Petits Débrouillards par exemple, ils vous fabriquent un vase de Tantale les doigts dans le nez!

Cette difficulté m’a donné à réfléchir sur la fragilité du mécanisme de cet oscillateur. Mais avant de vous livrer le fruit de mes cogitations, je vous propose une deuxième illustration d’oscillations aquatique spontanée encore plus spectaculaire: les geysers!

Comment fonctionne Old Faithfull
On trouve des geysers surtout dans des zones volcaniques ou sismiques, en Islande par exemple ou dans le parc américain de Yellowstone. Très périodiquement des giclées d’eau et de vapeur brûlantes en jaillissent brusquement et peuvent monter jusqu’à plusieurs dizaines de mètres de hauteur.

Le principe d’un geyser est étonnamment simple: il est toujours constitué d’un réservoir très profond relié à la surface par une longue colonne fine. Le réservoir est alimenté en eau par de nombreuses fissures dans la roche et se trouve en contact avec une forte source de chaleur (on est en zone volcanique, souvenez-vous). – La température de l’eau monte dans le réservoir mais la pression de la colonne d’eau l’empêche de bouillir (sous pression l’eau bout à des températures bien plus élevées que 100°C).
- L’eau chaude, en état de surfusion, tend à monter dans la colonne, comme le lait qui monte dans la casserole. A mesure qu’elle s’élève, la pression qu’elle subit diminue jusqu’à ce que qu’elle atteigne son point d’ébullition dans la colonne.
- Les bulles créées par l’ébullition gonflent en remontant vers la surface et poussent le haut de la colonne d’eau.
- Le phénomène s’emballe: une partie de l’eau de la colonne étant chassée, la pression diminue dans le réservoir faisant bouillir l’eau de plus en plus bas dans la colonne. Toutes ces bulles remontent et expulsent brutalement l’eau qui s’y trouve. Une bonne partie de l’eau du réservoir s’échappe ainsi dans les airs sous forme d’eau et de vapeur brûlante.
- Le réservoir s’étant vidé de la sorte, il met du temps à se remplir d’eau par les fissures du terrain. L’eau se réchauffe progressivement et le cycle recommence… Une vidéo explique ça mieux que mes mots (mais en anglais):

Maintenant que vous êtes devenus incollables sur les geysers, vous pouvez retrouver les analogies avec le mécanisme du vase de Tantale:
- Dans les deux cas il y a un apport permanent d’énergie: remplissage du réservoir et chauffage dans le cas du geyser. C’est grâce à cette énergie que le système ne revient jamais à un régime d’équilibre stable.
- A chaque fois, la dynamique du système aboutit à sa réinitialisation: le siphonnage s’arrête dès qu’il a vidé le réservoir; la surpression du réservoir se résorbe une fois qu’elle a chassé toute l’eau de la colonne montante. Le cycle peut alors recommencer grâce à l’apport d’énergie.

L’explosion stabilise…
Il y a pourtant une différence importante entre les deux phénomènes, à part que l’un est froid et l’autre chaud: dans le cas du geyser il y a auto-emballement de la poussée d’Archimède (les bulles qui gonflent en montant, chassent l’eau et la colonne et diminuent la pression en dessous) dont on ne trouve pas d’équivalent dans le vase de Tantale. La vidange n’a rien d’auto-amplifiée, au contraire: à mesure que le niveau du flacon descend, la vidange ralentit jusqu’à s’arrêter. C’est, je crois, ce qui explique qu’il soit si délicat de fabriquer un « bon » vase de Tantale et que l’on trouve si peu de fontaines intermittentes dans le monde alors que les zones volcaniques sont truffées de geysers. L’auto-amplification rend le mécanisme du geyser particulièrement robuste (quoique je n’ai pas risqué d’incendier ma salle de bain en essayant de me faire mon geyser perso) et l’empêche de trouver un régime permanent équilibrant les forces en présence.

D’habitude un mécanisme est d’autant plus stable que ses paramètres évoluent doucement, linéairement. Bizarrement, ici c’est l’explosivité du phénomène, sa capacité à s’auto-emballer qui assure la répétition du phénomène et sa pérennité dans le temps. Un peu comme si une voiture roulait toute seule en alternant brusquement accélérations et freinages. Aussi bizarre que ça puisse paraître il ne s’agit pas d’un cas isolé, loin de là. Dans un précédent billet je vous ai décrit une troisième forme d’oscillation spontanée créée par de l’eau qui coule: dans la génératrice de Kelvin ce sont cette fois les charges électrostatiques des récipients qui oscillent

Si vous regardez bien son principe (que j’ai détaillé dans le billet), vous retrouverez les mêmes trois propriétés caractéristiques du geyser:
- une source d’énergie qui alimente le phénomène en permanence: la gravité qui attire l’eau vers le bas;
- un phénomène à « feedback négatif »: l’augmentation de la charge électrostatique des réceptacles finit par créer une étincelle qui décharge le dispositif;
- la fameuse auto-amplification: plus les réceptacles sont chargés, plus les ions positifs et négatifs sont attirés sélectivement vers les bons réceptacles, ce qui accentue la différence de charge.

Allez, un dernier exemple que je viens de découvrir et qui m’épate, tant pis si ça n’a rien à voir avec l’eau qui coule: pourquoi le vent fait-il claquer les pages du magazine que vous avez laissé ouvert à côté de vous pendant votre sieste dominicale au grand air? C’est ce que Pedro Reis, chercheur au MIT a cherché à comprendre et qu’il explique dans cette vidéo:

Votre œil désormais exercé repèrera facilement les mêmes ingrédients habituels: le vent (source d’énergie permanente), la pression latérale qui lève chaque page l’une après l’autre et la pousse (de plus en plus fort à mesure qu’elle offre une plus grande surface portante) jusqu’à la verticale: voilà notre fameuse force auto-renforçante. Et enfin la gravité dans le rôle du feedback négatif, qui au bout d’un moment fait fléchir le paquet de pages soulevées sous son propre poids et referme le magazine. Evidemment ça ne marche pas avec un Kindle…

Ces trois propriétés sont une recette pratiquement universelle des mécanismes auto-organisés, mais ce ne sont pas les seules comme on le verra dans un prochain billet…

Billets connexes:
Comment fonctionne la génératrice de Kelvin
Essayez de repérer les mêmes trois propriétés dans le déclenchement des applaudissements!

PART 2 Les mystères du monde continu

Je vous ai montré dans le billet précédent pourquoi en mélangeant de façon très méthodique d’une image (j’étale dans un sens, je replie et je recommence) on revient tôt ou tard à la l’image initiale. Cet éternel recommencement est un privilège réservé aux images numériques.  Evidemment me direz-vous, il est matériellement impossible de réaliser et de répéter une telle transformation avec une précision parfaite. Mais je vais vous montrer que même si on savait le faire, on ne retrouverait jamais l’image de départ. Plus fort encore: jamais le mélange ne produirait deux fois la même image!

Pétrissage décimal
Pour vous le montrer simplement, je vais modifier légèrement la méthode de pétrissage: le boulanger étire son carré de 10 fois sa longueur initiale (au lieu de deux) et il coupe les neuf morceaux qui dépassent afin de retrouver la  forme initiale du carré une fois empilés.

C’est un peu plus compliqué à première vue mais vous allez vite comprendre pourquoi ça simplifie les calculs…

Supposons que notre carré ait une longueur 1 de côté et divisons le verticalement en 10 bandes de largeur 0,1 chacune. Le point en rouge de coordonnées (0.375;0.405) est situé dans la troisième bande verticale en partant de la gauche.  Au premier étirement, notre point se retrouve dans le troisième bloc en partant de la gauche (son abscisse est multipliée par 10) et rabaissée (son ordonnées est divisée par 10) soit  (3.75;0.0405).  Après passage du couteau, le troisième bloc est empilée sur les deux premiers: l’abscisse du point est donc diminuée de 3 unités et son ordonnée augmentée de 3 décimales soit (0.75;0.3405). Bilan:

La transformation d’un point s’obtient donc simplement en enlevant la première décimale de l’abscisse et en la glissant devant la première décimale de l’ordonnée. Une manière plus simple de faire l’opération consiste à écrire l’abscisse et l’ordonnées tête-bêche et de les séparer par un symbole par exemple « : » Dans ce formalisme, le point initial (0.375;0.405) s’écrit  573:405 et son image (0.57:0.345) s’écrit 57:3405!  

La transformation consiste donc à simplement déplacer la séparation entre abscisse (écrite à l’envers) et ordonnée. A mesure que l’on itère les transformations, les lointaines décimales de l’abscisse initiale « remontent » près de la virgule et deviennent déterminantes sur l’abscisse avant de passer sur l’ordonnée. A l’inverse les décimales initiales de l’ordonnée sont reléguées en queue de développement décimale et ne comptent rapidement plus du tout.

Quand le destin est fonction de la naissance, pas de la valeur.
Nous voilà parés pour comparer les destins de trois points situés extraordinairement près les uns des autres avant que le boulanger ne commence à travailler son pétrin. Supposons qu’ils aient tous  la même ordonnée (mettons y=0,5) et comme abscisses respectivement:
- un nombre décimal  0.14159
- une fraction non décimale: 1/7=0,142 857 142 857…
- un nombre irrationnel: 3-pi=0.14159265… (suite de décimales non périodique)

2) Le point d’abscisse rationnelle (non décimale) commence pareil que son jumeau décimal mais il s’en sort bien mieux.  Comme son développement décimal finit par être périodique, au bout d’un certain nombre de tranformations l’abscisse du point devient elle-même cyclique. Et comme la première décimale de l’abscisse devient la première décimale de l’ordonnée lors de la transformation suivante, l’ordonnée entre à son tour dans un cycle en miroir. Le point entre dans un cycle fermé dont la longueur est celle de la période de ses décimales:

3) Pour le point d’abscisse irrationnelle, c’est encore plus funky. Son développement décimal n’étant jamais périodique, les décimales que chaque transformation fait « remonter » en première position semblent parfaitement aléatoires. Et comme l’ordonnée se fait contaminer par les décimales de l’abscisse, le point se déplace de façon anarchique au fil des itérations.

Mais après tout, est-ce vraiment grave si ces dingos d’irrationnels sont incontrôlables? Du moment que les nombres rationnels tournent sagement en boucle, leur grand nombre n’assure-t-il pas que l’on retrouvera un système cyclique, comme pour l’image numérique? Hélas, il y a beaucoup beaucoup plus de nombre irrationnels que de nombres rationnels. Parmi tous les réels, ces derniers sont l’exception plutôt que la règle. A la différence d’une image ayant un nombre fini de pixels, notre  image « continue » sera donc irrémédiablement diluée par la transformation du boulanger, même si de ci de là quelques rares points suivront effectivement un cycle.

Déterminisme et prédictibilité
La transformation du boulanger illustre ainsi la différence qualitative entre fini et infini, mais elle est intéressante à plus d’un titre. Comme tout système chaotique, elle met aussi en évidence la différence entre déterminisme et prédictabilité. Certes l’équation de la trajectoire d’un point soumis à une série de transformations est parfaitement déterminée. Pourtant on vient de voir que deux points infiniment proches l’un de l’autre suivent des destins totalement différents selon la nature -décimale, rationnelle ou irrationnelle- de leur abscisse. L’imbrication infinie entre ces trois ensembles de nombres rend impossible toute prédiction concernant la trajectoire d’un point matériel donné: attraction vers O, oscillation périodique ou trajectoire chaotique. La transformation du boulanger est un joli exemple mélangeant déterminisme absolu et imprédictibilité totale.

On retrouve de façon assez inattendue le deuxième principe de thermodynamique qui interdit l’évolution spontanés du désordre vers l’ordre. Mais dans cet exemple, la flèche du temps ne tient pas à une question de probabilité, au fait que l’état ordonné est infiniment moins probable qu’un quelconque état différent. Ici la flèche du temps naît de l’extraordinaire instabilité de l’évolution de chaque point…

Sources:
B Gréhant, Et si la science était de l’hébreu (le chapitre qui traite ce sujet est disponible en pdf)
I Prigogine et I Stenger, La fin des certitudes: temps, chaos et les lois de la nature.
La transformation de la tasse a été faite avec le logiciel libre de BouMaton (disponible ici si vous voulez vous amuser aussi)

Billets connexes:
Votre boulanger est-il discret, le billet précédent

PART1: quelle différence entre fini et infini?

Pour bien mélanger son pétrin, le boulanger prend un carré de pâte, l’étire dans un sens puis le replie pour retomber sur son carré initial et il recommence: il étire puis replie pendant une bonne demi-heure (ça muscle!):

La transformation du boulanger

Si au lieu de faire ça avec une pâte à pain, on s’amuse à faire la même chose avec une image numérique, l’image se brouille très vite:Assez rapidement l’image se brouille…

Evidemment, comme on ne peut pas étirer chaque pixel on a un tout petit peu triché: pour étirer une ligne, on est obligé d’interpénétrer chaque ligne paire avec la ligne impaire suivante avant de replier le tout.

Les mystères de l’éternel retour

L’avantage sur la pâte à pain, c’est que c’est moins fatigant à faire et surtout ça va beaucoup plus vite. Au lieu de s’arrêter au bout d’une dizaine de mélanges comme ce feignant de boulanger, on peut laisser le logiciel tourner des milliers de fois. C’est le miracle de la technique. Mais le plus miraculeux c’est surtout qu’au bout d’un moment, l’image du départ revient comme par magie!

Cette transformation très simple aurait-elle des propriétés spéciales? Même pas: on trouve sur internet plein d’autres transformations très différentes qui bouclent sur elles-mêmes de la même façon. Par exemple celle du photomaton qui « disperse » l’image initiale dans les quatre quarts du carré avant de recommencer:

Je me disais qu’il devait être affreusement compliqué de démontrer que « ça boucle », d’autant que le nombre d’itérations nécessaires pour retomber sur ses pieds est très sensible au nombre de pixels de l’image. La démonstration que propose JP Delahaye [1] est pourtant incroyablement simple.

Numérotons les pixels de l’image de 1 à N en fonction de leur position. La  transformation du boulanger envoie le pixel en position X1 à une position X2 qui lui est exclusivement réservée. La transformation du boulanger est donc une bijection entre les N pixels de l’image.  Appliquons  itérativement  cette transformation bijective à notre pixel situé  initialement en position X1, il devient:
X1->X2->X3->X4->….->X_N
Puisque la transformation est bijective et qu’il n’y a que N pixels possibles, un peu de réflexion vous convaincra que notre point reviendra fatalement à sa position d’origine en X1 au bout d’un certain nombre d’itérations. Ansi à chaque pixel de l’image correspond un cycle de longueur inférieure à N, cycle au terme duquel il revient à sa position de départ. Tous les pixels appartenant à un cycle de longueur 10, reviennent à leur position initiale au bout de 10 transformations, 20, 30, 40 etc.
Evidemment deux pixels différents peuvent appartenir à des cycles de  longueurs différentes l1 et l2, mais ils seront tous les deux revenus à leur position initiale au bout de l1*l2 cycles.
On peut en principe connaître la liste de toutes les longueurs de cycles correspondant aux pixels d’une image. Supposons par exemple qu’il n’y ait que trois cycles possibles, de longueur 3, 7 et 10. L’image reviendra identique à elle-même au bout de 3*7*10=210 itérations.
De façon générale, si l’on connaît toutes les longueurs de cycle d’une image, le « temps de retour » de l’image sera égal au plus petit commun multiple de toutes les longueurs de cycles. Dans le pire des cas (si chaque point appartient à un cycle de longueur différente) l’image initiale revient au bout de N! cycles. Ca peut être long, mais ça marche à tous les coups!

Tout s’explique!
Ce raisonnement est valable quelque soit la nature de la transformation (Boulanger, photomaton ou autre), il suffit juste qu’elle soit bijective. Rigolo non? Au passage, cette démonstration aide à comprendre pourquoi au cours des itérations on voit de temps en temps apparaître  l’image initiale un peu brouillée: c’est le cas chaque fois que le nombre d’itérations est un multiple des longueurs de cycles les plus fréquentes. Les très nombreux pixels correspondant à ces cycles sont alors revenus à leur position initiale – c’est ce qui fait qu’on reconnaît l’image- mais pas les autres -c’est ce qui fait que l’image est floue:

On lit plein de trucs sur ces infâmes neutrinos qui iraient plus vite que la lumière et contrediraient Einstein. Les articles mentionnent souvent qu’un tel phénomène remettrait en question “le principe de causalité” ou qu’il reviendrait à faire voyager les neutrinos dans le temps, mais sans plus d’explications. Je vous propose donc aujourd’hui quelques expériences imaginaires pour comprendre pourquoi. Les âmes sensibles peuvent sans problème sauter les paragraphes qui contiennent des équations indigestes.

Reprenons d’abord la recette de la relativité restreinte. A la base, trois hypothèses très sages et raisonnables:
1) L’espace n’a pas de direction privilégiée, il est homogène et isotrope
2) Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels en déplacement uniforme les uns par rapport au autres (c’est le principe de la relativité simple, cher à Gallilée)
3) On suppose qu’on sait synchroniser toutes les horloges d’un même référentiel, autrement dit on sait se débrouiller pour qu’elles donnent toutes la même heure à un instant donné.

Cette dilatation des durées du point de vue de celui qui s’estime immobile confirme ce qu’on savait déjà: le temps passe plus lentement pour celui qui ne part pas en voyage. Bon, l’analogie n’est pas tout à fait valable car du point de vue des astronautes, c’est la Terre qui s’éloigne à la vitesse V et en faisant exactement le même raisonnement que précédemment, ils concluent que ce sont les horloges terrestres qui vont deux fois plus lentement que les leurs! Chacun voit le temps de l’autre battre plus lentement. Qui a raison? Personne bien sûr puisque les durées et les distances sont des notions “relatives” à chaque observateur (d’où le nom de la théorie).

Duel de Tachyons

Supposons maintenant qu’on découvre des particules allant plus vite que cette vitesse maximale c et qu’on appellerait des tachyons. Dans un premier temps on suppose que les tachyons vont à une vitesse infinie. Quand on dégaine son pistolet à tachyons, les tachyons qu’on tire passent instantanément d’un point à l’autre de l’espace. Imaginons donc un duel intergalactique entre deux bandes rivales, les bleus et les rouges, écumant l’univers à la poursuite les uns des autres à bord de leurs fusées intergalactiques. Les règles sont simples: on a le droit de se tirer dessus 4 secondes après que les fusées se sont croisées. Regardez ce qui se passe quand on décompose la scène au ralenti:
- Au top, les fusées se croisent et s’éloignent l’une de l’autre à la vitesse V. Chacun regarde fébrilement son chronomètre et ajuste son pistolet.
- Dans la fusée bleue à t=4 secondes, on tire sur la fusée rouge. Touché! (mais pas coulé).
- Comme on vient de le voir, lorsqu’il s’est passé 4 secondes dans la fusée bleue, il ne s’en est écoulé que 2 dans la fusée rouge. Les rouges se sentent grugés: les bleus ont tiré au bout de deux secondes au lieu des quatre convenues! Blessés mais pas morts, ils voient rouge (forcément) et ripostent instantanément sur ces salauds de bleus.
- Les rouges tirent sur les bleus à t’=2 secondes et ne ratent pas leur coup, eux. Il est alors t=1 seconde chez les bleus (toujours à cause de cette satanée dilatation des durées) quand ils volent en poussière.

Sauf que… attendez. STOP! ARRETEZ TOUT!!! Ya un problème: A t=1 seconde, les bleus n’ont pas encore tiré sur les rouges. Ils ne peuvent pas être détruits en représailles à une attaque qu’ils n’ont pas encore lancé! Et puis quand t’=2 chez les rouges, quelle heure est-il chez les bleus: t=4 ou t=1?

Manifestement du fait de leur vitesse infinie, les tachyons violent le sacro-saint principe de causalité (qui veut qu’une cause précède toujours son effet) et leur vitesse infinie en font des machines à retomber dans le temps avec toutes les boucles paradoxales que ça suppose (l’histoire du gars qui tue son arrière-grand-père, ce qui implique qu’il n’a pas pu naître donc pas pu tuer son aïeul qui n’est donc pas mort etc).
La démonstration vaut même si les tachyons ont une vitesse v supérieure à c qui n’est pas infinie. Il suffit de choisir la vitesse des fusées suffisamment grande pour violer le principe de causalité.

Prenons par exemple v=1.25c pour les tachyons et V=0.866c pour la fusée. Vu des bleus, entre le moment où ils tirent et celui où la fusée rouge est atteinte à la distance x, il s’écoule un délai t = x/v=0.8x/c (t et x sont tous deux positifs). Vu des rouges, le trajet des tachyons dure t’=2(t-0.866 x/c) = 2(0.8 – 0.866) x/c = -0.132 x/c.
Le fait que t’ est négatif signifie qu’aux yeux des rouges, leur fusée est endommagée avant que les bleus ne leur aient tiré dessus. Pour eux l’effet précède la cause.

Aucune particule ne peut donc aller plus vite que c à moins d’admettre qu’on peut violer le principe de causalité et remonter dans le temps. A ce propos, j’adore la raison pour laquelle un objet massif ne peut remonter dans le temps. Si par hasard il y parvenait, au moment où il atterrirait dans le passé, sa masse s’ajouterait à la quantité totale de matière contenue dans l’univers, violant alors le sacro-saint principe de conservation de cette masse totale (le fameux “rien ne se perd, rien ne se crée…”). Impossible!

Les neutrinos supraluminiques peuvent-ils définir “c”? NON!

Alors certes, on ne peut dépasser la vitesse c à moins de supposer certaines anomalies dans l’isotropie de l’espace par exemple. Mais rien ne dit pour l’instant que “c” correspond à la vitesse de la lumière dans le vide. Pourquoi c ne serait-il pas la vitesse de ces neutrinos supraluminiques par exemple? La raison en est que les seules particules autorisées à aller à la vitesse maximale c sont celles:
- qui ont une masse nulle
- qui ne peuvent que se déplacer à la vitesse c, sans jamais se reposer
- pour lesquelles le temps ne s’écoule pas (ça je vous le démontre pas sauf si vous le demandez).

La formule générale de l’énergie d’une particule vaut E = (1-V²/c²)-½ mc², V étant la vitesse de la particule par rapport au référentiel dans lequel on mesure son énergie. Lorsque la particule est au repos V=0 et on retrouve le fameux E=mc². Quand V=c, le seul cas où l’énergie reste définie correspond à m=0 donc à une particule de masse nulle. Réciproquement une particule de masse nulle n’a d’énergie que si elle va à la vitesse de la lumière.

Or on a déjà prouvé que les neutrinos ont une (toute petite) masse. Ils sont donc le maillon faible éliminés de la compétition pour la course à c. Les photons (qui transportent la lumière) sont par contre des prétendants très sérieux car terriblement balaises au concours weight-watcher. Certes il n’est pas démontré qu’ils ont une masse rigoureusement nulle mais on peut leur faire passer un tas d’épreuves pour vérifier que leur masse éventuelle ne peut dépasser certaines limites.

A la recherche de la masse perdue du photon
 Première épreuve (facile): les lois de l’électromagnétisme, celles que Maxwell a découvert vers 1870, prédisent qu’une onde électromagnétique se déplace à la vitesse limite c. Or toutes les mesures expérimentales ont jusqu’ici montré que c correspond justement la vitesse de la lumière dans le vide. Le photon passe donc avec succès les éliminatoires.

Deuxième épreuve (plus dur): si les photons avaient une masse, leur vitesse varierait légèrement selon que la source de lumière s’éloigne ou se rapproche de l’observateur. Dans une série d’expériences devenues célèbres vers 1880, Michelson et Morley démontrèrent que la vitesse de la lumière restait identique quelque soit la vitesse de sa source. C’est d’ailleurs ce résultat qui permit à la théorie de la relativité de gagner aussi vite ses galons. Bravo les photons!

Troisième épreuve (difficile): Si les photons avaient une masse, explique Feynman dans son cours sur la gravitation, leur vitesse varierait en fonction de leur énergie donc de leur longueur d’onde. La lumière bleue irait à une vitesse légèrement différente de la vitesse rouge.Lors de l’éclipse d’une étoile double on devrait donc observer l’éclipse bleue et l’éclipse rouge à des instants différents. Comme on n’a jamais rien observé de semblable, on en déduit que la masse du photon est inférieure à un milliardième de celle de l’électron. Quelle minceur!

Quatrième épreuve (très dur): Les mêmes observations faites sur les émissions de rayon X des pulsars permettent de tester une limite encore plus petite pour la masse du photon. Epreuve remportée haut la main par les photons, dont la masse est maintenant certifiée inférieure au milliardième de millionième de celle de l’électron!

Cinquième et dernière épreuve (pour l’instant): la physique quantique décrit chaque type de force fondamentale (gravitation, électromagnétique, force nucléaire forte et faible) comme un échange d’une certaine particule caractéristique. Le calcul montre que la portée d’une interaction décroît exponentiellement avec la masse de cette particule associée (c’est le potentiel de Yukawa si vous voulez faire chic). La gravitation dont la portée est infinie correspond donc nécessairement à une particule de masse nulle. La force électromagnétique, elle, est véhiculée par le photon, donc sa portée nous renseigne précisément sur la masse du photon. Ah ah! On ne rigole plus avec ce genre de test! Il se trouve que les rayons cosmiques qui nous arrivent du soleil, sont sensibles aux effets du champ magnétique terrestre alors qu’ils sont encore à plusieurs dizaines de milliers de kilomètres de la Terre. Une telle portée signifie que la masse du photon est inférieure à au moins 10-20 fois celle de l’électron! En toute rigueur, rien ne dit que l’on ne trouvera pas un jour une toute petite masse pour le photon, mais pour l’instant tous ceux qui ont essayé (Louis de Broglie par exemple) s’y sont cassé les dents. Aucune expérience n’a encore mis en défaut l’hypothèse d’une masse nulle pour le photon. C’est la raison pour laquelle on admet que la vitesse de la lumière dans le vide correspond à la vitesse limite c.

Et l’expérience OPERA donc?

Si les résultats d’Opera sont si étonnants, c’est donc qu’ils remettent en question non pas Einstein, mais pratiquement toute la physique du XXeme siècle! S’ils étaient confirmés il faudrait supposer des trucs hallucinants:

- l’espace pourrait ne pas être homogène dans toutes les directions (mais après tout pourquoi l’axe Italie-Suisse serait-il moins privilégié que l’axe Franco-Allemand?);
- le principe de causalité (“une cause précède toujours son effet”) aurait-il des failles?
- les photons ont-ils une masse? La vitesse de la lumière serait-elle variable en fonction de la longueur d’onde?

Ce ne serait donc pas un “petit accroc” à la théorie de la relativité, une anomalie marginale qu’on pourrait réparer avec un patch astucieux, mais une véritable révolution conceptuelle. On comprend pourquoi les chercheurs se sont montrés extrêmement prudents en publiant ces résultats…

Sources:
Wayne Throop: Why FTL implies time travel pour le duel de tachyons et une démonstration avec un diagramme de Minkowsky
Richard Feynman: Leçons sur la gravitation

Billets connexes:
La relativité lumineuse même sans la lumière

Cellules différenciées -L’analogie entre les cellules différenciés des animaux (os, muscles, sang) et les sous-castes d’une colonie d’insecte (ouvrières, nurses, guerrières, reines…) est d’autant plus frappante que dans les deux cas les composants élémentaires (cellules ou insectes) partagent les mêmes gènes tout en étant très différents morphologiquement et fonctionnellement. La reine, capable de produire des individus de n’importe quel caste serait l’équivalent d’une cellule-souche, tandis que les autres castes d’insectes seraient assimilables à des cellules somatiques différenciées. Avec l’âge la polyvalence de certaines castes diminue exactement comme celle de certaines cellules souches sanguines semi-différenciées.

Nourriture – La circulation de la nourriture dans le corps au travers des vaisseaux sanguins trouve son équivalent dans la “trophallaxie” chez les insectes sociaux, pratique qui consiste à faire circuler la nourriture de bouche en bouche depuis la périphérie jusqu’au coeur du nid. Plus besoin de faire les courses quand on bosse à la nurserie!

Chez les abeilles, il semble même que cet échange de nourriture permette d’égaliser la quantité de nutriment qu’elles reçoivent (sucre, vitamines etc). Chez les fourmis pot-de-miel des déserts Américains, certaines ouvrières sont capables de stocker 50 à 100 fois leur poids de nourriture dans leur abdomen distendu. Elles sont ensuite suspendues aux plafonds de la fourmilière comme des outres pleines de réserves à la disposition de qui a faim.

De même que les animaux confient souvent la digestion de leur nourriture à des bactéries logées dans leurs intestins, l’endosymbioseest monnaie courante chez les insectes sociaux. Chez les termites par exemple, c’est un champignon (les Termitomyces) qui pousse dans la termitière qui convertit la cellulose en nutriments pour les termites.Les fonctions physiologiques classiques des animaux trouvent toutes leur équivalent chez les insectes sociaux. En guise d’influx nerveux et de régulation hormonale, on a vu dans les billets sur les abeilles qu’elles utilisent des attouchements (les fourmis se tripotent les antennes, les abeilles se rentrent carrément dedans), des phéromones ou des signaux visuels codés permettant de faire circuler une information d’un bout à l’autre de la colonie.

La respiration est assurée par d’astucieux systèmes de ventilation du nid permettant de limiter le taux de CO2 à 1 ou 2% maximum. Les abeilles sont aussi capables de garder une température constante dans le nid, aux alentours de 37°, grâce à l’ajustement de l’agitation des bestioles à l’intérieur et à la création de couloirs de ventilation au sein de l’essaim:

En cas de problème, la colonie sait aussi se soigner. En cas d’infection par des micro-organismes, elle déclenche spontanément une « poussée de fièvre », exactement comme les animaux homéothermes. Et en cas de pertes importantes sur certaines castes, la colonie réagit très vite. D’abord les survivants de la caste en question augmentent leurs cadences pour pallier aux absences, ensuite d’autres ouvrières d’une caste proche remplacent les effectifs manquants et enfin la reine pond davantage de larves produisant des individus de la caste déficitaire. Bref, la colonie dispose de mécanismes régulateurs équivalents à ceux d’un organisme victime d’une lésion.

Tout se passe donc comme si un essaim de quelques dizaines de milliers d’abeilles se comportait comme un animal homéotherme de quelques kg, doté de toutes les fonctions vitales, respiration, digestion, reproduction, déplacement, mécanismes de défense etc. On a d’ailleurs découvert récemment que le métabolisme de ces super-organismes suivait statistiquement la même loi de puissance que tous les autres organismes vivants: l’énergie qu’une colonie consomme croît avec la puissance 3/4 de sa taille.

La loi de Kleber (Source West & Brown qui proposent un modèle explicatif, ici) Cliquez pour agrandir l’image

Pourquoi 3/4? Ce n’est pas encore bien clair et aucune explication n’est pour l’instant 100% convaincante mais cette loi semble bel et bien universelle.
Le super-organisme a quand même d’autres propriétés un peu étranges. Son mode de reproduction d’abord. Alors que les abeilles ont une reproduction sexuée, la colonie n’en a pas. Chaque année les reines d’une colonie partent fonder une nouvelle colonie, sans que les colonies s’interfécondent. On est donc plutôt dans le domaine de la bouture végétale!

Ensuite le mode de croissance d’une colonie n’a rien de classique. Edward Wilson (THE spécialiste mondial des fourmis) s’est penché sur le cas des fourmis champignonnistes. A la création de sa nouvelle colonie, la jeune reine commence par produire des ouvrières de tailles moyenne (dont la tête mesure entre 0,8 et 1,6 mm de largeur) afin d’assurer toutes les étapes de la récolte des champignons. Plus tard que l’éventail des taille s’élargit et la colonie produit aussi bien des géantes de 5mm que des naines d’à peine 0,6mm de large. Wilson s’est amusé à recréer les conditions d’une jeune colonie à partir d’une colonie de trois ans d’âge comptant 10000 individus. Il ne garda donc dans cette colonie que 240 individus (avec la reine bien sûr) en prenant soin de conserver les proportions caractéristiques d’une jeune colonie. Il observa alors qu’une telle colonie réduite en taille ne produisait plus que des ouvrières de tailles intermédiaires, exactement comme si elle était redevenue jeune. On peut donc rajeunir un super-organisme! Certes la reine d’une colonie n’est pas immortelle mais son remplacement par une de ses filles suggère une forme d’immortalité à la manière là encore de certains végétaux qui se reproduisent en se clonant et sont potentiellement immortels.

J’ai découvert ça pile au moment où l’on annonçait que l’on pouvait rajeunir artificiellement une cellule isolée. A croire que la socialité et la spécialisation constitue non pas l’aboutissement de l’histoire de la vie mais son fondement, son ressort vital. D’ailleurs, les cellules eucaryotes ne sont-elles pas -selon toute vraisemblance- nées de symbiose entre plusieurs cellules procaryotes (sans noyau). Je me demande si cette idée ne pourrait pas nous permettre de remonter encore plus loin dans la genèse de la vie… A l’autre bout de l’échelle, l’intégration croissante de nos sociétés humaines -mondialisation et spécialisation toujours plus grandes des tâches- relèverait-t-elle de la même tendance “biologique”?

Source: 
Passera et Aron: les fourmis. Comportement, organisation sociale et évolution

Billets connexes: les abeilles qui déménagent (part 1 et part 2) , celles qui se défendent contre les frelons, les fourmis qui mesurent leur nid, et d’autres histoires de symbiose…