1) Une théorie naturelle

Dans les années 1995, un physicien américain, Edwin Jaynes [1], s’attaqua à cette question de façon originale. Il imagina une machine capable de raisonner par déduction et par induction, c’est-à-dire pouvant formuler des modèles explicatifs et ne retenir que le modèle le plus plausible par rapport à ses observations. Encore faut-il pouvoir définir ce que signifie plausible. Jaynes supposa que la plausibilité d’une explication peut se mesurer et proposa trois exigences très simples que la machine devrait respecter pour que son raisonnement soit cohérent:

• Non contradictoire: deux raisonnements différents (mais corrects) doivent aboutir au même résultat;
• Non-biaisé: le raisonnement doit tenir compte de toutes les informations utiles disponibles;
• Réplicable: deux problèmes équivalents doivent aboutir nécessairement aux mêmes résultats.

Les trois hypothèses de Jaynes

Aussi incroyable que ça puisse paraître, Jaynes démontra que tout raisonnement qui respecte ces trois conditions est forcément équivalent à un calcul bayésien. Autrement dit, ces trois principes de raisonnement suffisent à fonder toute la logique bayésienne, de la même façon que les cinq postulats d’Euclide suffisent à déduire toutes les règles de notre géométrie au quotidien. Le raisonnement bayésien semble donc une forme de raisonnement aussi naturelle pour l’esprit que peut l’être la géométrie euclidienne pour nos sens! Pas étonnant qu’on la retrouve aussi souvent chez les êtres vivants, sous une forme ou sous une autre, et que tous les hommes de science l’aient adoptée depuis toujours sans aucun débat.

Le rasoir d’Ockham « automatisé »

Mais il y a plus. L’approche scientifique veut qu’on ne multiplie pas les hypothèses plus qu’il n’est nécessaire pour expliquer un phénomène, selon l’adage « les explications les plus simples sont souvent les meilleures ». Je pensais jusqu’ici que ce principe de parcimonie était un simple biais culturel, dérivé de notre goût pour la simplicité. Or il semble que le « rasoir d’Ockham » soit lui aussi une simple conséquence du raisonnement bayésien. Pour le comprendre, il faut rappeler la formule de Bayes (et puis ça fera plaisir à Marc) qui exprime la plausibilité d’une hypothèse a posteriori (c’est-à-dire elle qui tient compte des observations):

P(hypothèses|observations) ~ P(observations|hypothèses) x P_{a priori} (hypothèses).

Le dernier terme à droite exprime la probabilité a priori d’être dans une situation où les hypothèses sont remplies. Plus ces hypothèses sont nombreuses, moins une telle situation est probable et plus ce terme est donc faible. A vraisemblance égale (le terme du milieu), c’est le modèle faisant appel au plus petit nombre d’hypothèses qui est donc le plus plausible. Par conséquent la logique bayésienne sélectionne automatiquement les modèles les plus « parcimonieux » en hypothèses, ce qui est précisément l’exigence du « rasoir » d’Ockham!

2) Prédire, une question de survie

Ce principe de parcimonie, ce goût pour la « réduction » semble profondément ancré dans nos têtes de Bayésiens. Reste à comprendre pourquoi. Pourquoi cherche-t-on toujours à généraliser, à abstraire, à simplifier, à expliquer? Pour Karl Friston [2], de l’Université de Londres, c’est tout simplement une question de survie. Pour être capable d’éviter les pièges, de saisir les opportunités de se nourrir et de se reproduire, tous les êtres vivants doivent en mesure de comprendre leur environnement et d’apprendre à anticiper ses évolutions immédiates. Survivre exige de prédire en permanence ce qui va se passer pour s’y adapter. Il n’est donc pas étonnant que l’évolution ait doté tous les êtres vivants d’une certaine capacité d’apprentissage, et la forme bayésienne en constitue l’expression la plus naturelle. Il faut être bayésien pour survivre.

Le phénomène d’habituation de nos sens fournit quotidiennement une preuve de cette propension du système nerveux à la prédiction automatique. A force d’être exposé au bruit de la pluie qui tombe ou des voitures qui passent, on finit par ne plus les entendre. Ce n’est pas que notre ouïe soit « saturée » par ces bruits particuliers, car plusieurs études montrent que le même phénomène d’habituation se produit  pour l’absence de signal ou pour la répétition d’un motif particulier de sons par exemple. Simplement notre cerveau anticipe les perceptions à venir et occulte celles qui sont les plus prévisibles. Pour Stanislas Dehaene [3], ce système de prédiction permanente a plusieurs avantages: elle permet bien sûr d’accélérer nos réactions par rapport à nos perceptions, mais elle a aussi comme avantage de focaliser l’attention sur ce qui n’est pas prévu, en filtrant tout le reste. Ce modèle est aussi bien plus économe en ressources de traitement…

Bref notre système nerveux réagit uniquement à ce qu’il n’a pas complètement prévu! Voilà pourquoi on ne s’entend pas ronfler, pourquoi on ne sent pas sa propre odeur, pourquoi notre vision du monde ne ressemble pas du tout à un film tourné en caméra subjective, pourquoi on ne perçoit pas l’interruption de lumière quand on cligne des yeux, Toutes ces absences de sensation reflètent simplement notre anticipation automatique de ce qui va se produire à l’instant suivant. On peut même supposer que nos neurones miroirs, ceux qui anticipent en nous les états physiques ou émotionnels de l’autre, utilisent aussi cette anticipation automatique de ce qu’on perçoit.

Un principe général du vivant?

Pour Karl Fiston ce codage prédictif de l’information, propre au monde du vivant fait partie d’un cadre théorique beaucoup plus large. Son modèle montre que pour limiter « l’erreur de prédiction », les êtres vivants ont intérêt à minimiser une certaine fonction mathématique, connue en physique statistique sous le nom « d’énergie libre » . Ce principe de minimisation  leur permettrait de maintenir leur état malgré les variations de leur environnement et de résister à la dégradation naturelle (cliquez l’image pour élargir).

D'après K. Friston (2009)

L’algorithme qu’il dérive de ce principe rend assez bien compte de plusieurs processus cérébraux (l’onde d’erreur par exemple, dont je vous avais parlé ici), mais il a surtout le mérite de bien coller avec l’anatomie même du cortex (je vous renvoie aux papiers cités plus bas pour plus de détails).

Ce principe de « minimisation de l’énergie libre » serait ainsi le pendant, pour le monde du vivant, du second principe de thermodynamique (l’augmentation de l’entropie) qui régit le monde de l’inerte! Appliqué au niveau supérieur (à l’espèce plutôt qu’à l’individu), ce même principe expliquerait l’évolution vers plus de fitness, à rebours du sort d’un système inerte livré à lui-même.

3) Une théorie générale de la culture, des arts et des sciences

Puisque ce n’est pas la culture qui nous rend « bayésiens », un autre chercheur, Jurgen Schmidhuber [4] propose du coup l’hypothèse inverse. Notre goût inné pour la « réduction explicative » serait selon lui le fondement même de l’émotion esthétique! Je trouve son explication un peu tarabiscotée, alors je la reformule à ma sauce. On a tous ressenti un jour ce fameux pincement au coeur quand on trouve la solution à un problème compliqué. Or « résoudre un problème » signifie le décomposer en une combinaison de règles simples, donc réduire la quantité d’information qu’il recèle. Selon Schmidhuber, l’émotion de la découverte serait la récompense naturelle de notre système nerveux pour la compression d’information qu’il vient de réaliser. On éprouve la même émotion qui nous saisit lorsqu’on découvre subitement des régularités cachées derrière une oeuvre d’art, émotion d’autant plus forte que cette réduction d’information est importante. Il donne l’exemple de cette « Femme fractale », dessinée à partir d’arcs de cercle issus d’une construction géométrique assez simple:

 Les scientifiques fonctionnent sur le même mode. Comme l’écrit Marcus du Sautoy dans son dernier livre: « Un mathématicien est un chercheur de motifs. J’essaie de trouver la logique ou le motif qui permet de comprendre le monde autour de moi. » Et un peu plus loin: « Les plupart des mathématiciens sont guidés dans leurs travaux par un très fort sens de l’esthétique et le bon chemin à suivre est très souvent le plus beau ».

Au jeu de qui surprendra l’autre

Ce serait la même chose en musique: on éprouverait un grand plaisir quand on (re)découvre le motif musical qui permet de comprendre l’esprit d’un morceau. Pareil pour l’humour: est drôle ce qui fait brusquement apparaître une règle inattendue qui « résout » une histoire par une chute imprévue.

Cette théorie pourrait sembler contradictoire avec celle de Friston et son énergie libre: d’un côté on soutient que le vivant déteste les surprises et fait tout pour les éviter. De l’autre, Schmidhuber explique au contraire que cet effet de surprise est fondamental dans l’art, dans l’humour et dans la science. Je pense que la contradiction n’est qu’apparente: ce n’est pas parce que le vivant tend à minimiser les surprises, qu’il ne les recherche pas, au contraire! D’une part résoudre ces surprises est effectivement un moment d’émotion intense: les rechercher semble donc naturel. Mais on peut aussi adorer se laisser surprendre, si l’on est sûr qu’il n’y a pas de danger. C’est même le principe de tous les jeux!

Les petits enfants détestent les films d’épouvante ou ceux qui finissent mal, parce qu’ils n’ont pas encore bien compris qu’il ne s’agit que de fiction. Mais les adultes au contraire éprouvent (parfois!) beaucoup d’excitation et de plaisir au défi que leur lance le réalisateur à ne pas se laisser (sur)prendre par son film.

Le plaisir de la compression…

Vivre c'est comprimer: nouvelle devise Shadocks!

Perso, je ne suis pas très frappé par la beauté de cette « Femme fractale » et je doute qu’on puisse réduire la Joconde en quelques règles très simples. La beauté d’une oeuvre ne me semble donc pas réductible à sa « compressibilité ». En revanche, cette théorie a le mérite de répondre à une question que je me pose depuis longtemps: pourquoi la suggestion procure-t-elle autant d’émotions -voire plus- que l’exhibition crue de ce qu’on désire? Pour rester sur un registre sobre, pourquoi est-on au moins aussi excité par le fumet d’un bon plat que par sa consommation? La réponse de Schmidhuber (du moins celle que j’extrapole à partir de sa théorie) est simple: ce que récompense notre système nerveux ne serait pas tant l’accomplissement du désir, mais le travail d’imagination qui anticipe ce qu’il faut faire pour le réaliser. Se rapprocher du but, voilà ce qui nous rend accrocs, au point d’ailleurs que le but, une fois atteint, nous laisse parfois une légère sensation de déception ou d’ennui.

L’autre idée que je trouve intéressante dans la théorie de Schmidhuber, c’est que l’émotion soit liée à un « taux de compression ». Dans ce billet j’avais émis l’idée que le beau est ce qui ne peut se résumer davantage. Comme dit Saint-Exupery, « La perfection est atteinte, non pas lorsqu’il n’y a plus rien à ajouter, mais lorsqu’il n’y a plus rien à retirer » Mais tout ce qui est irréductible n’est pas forcément beau! L’élégance d’une formule, en poésie comme en physique ou en maths, se mesure à l’écart entre la concision de son énoncé et l’étendue des phénomènes qu’elle embrasse. D’où le succès de E=mc²…

Selon ce même critère, la formule de Bayes est-elle émouvante? Certes son champ d’application est immense  -j’espère vous en avoir convaincu!- mais sa « beauté » souffre malheureusement de sa formulation laborieuse: . Mais c’est fort quand même, une théorie qui contient l’explication de son propre manque de succès!

Sources:

[1] Edwin T. Jaynes Probability Theory, the logic of science (disponible en pdf)
[2] Karl Friston: The free energy principle, a unified theory?  (2010) et Free energy and the brain (2007)
[3]  Stanislas Dehaene: Le cerveau statisticien, cours du Collège de France
[4] Jürgen Schmidhuber: Formal Theory of Creativity & Fun & Intrinsic Motivation

Billets connexes:

Bayes ou le bon sens réduit au calcul
Neurones, cherchez l’erreur! sur notre propension à prédire
L’imagination incarnée

Inférence compulsive

Dans un article très intéressant paru l’an dernier, le chercheur américain Georges Tenenbaum illustre ce lien entre ce qu’il appelle le « scandale de l’induction » et nos facilités d’abstraction. Il propose une planche pleine de plantes inventées, et montre trois exemplaires de « tufa ».Vous est-il possible de deviner quelles sont les autres « tufa » ?

A partir de quelques indices très partiels tirés d’un nombre très réduit d’observations, on classe, on catégorise, on généralise très spontanément et très vite. Trop, sans doute, si l’on se place du point de vue de la statistique, mais cette généralisation abusive s’avère incroyablement efficace dans la vie courante. Il suffit de désigner par le même nom deux bestioles très différentes à un bébé, pour qu’il infère immédiatement que « chien » désigne cette catégorie d’animal poilu, avec une queue et quatre pattes.

Où est donc passé son sens inné de « l’échantillon représentatif » dont je vous parlais dans le dernier billet? Je ne pense pas qu’il ait disparu. Au contraire, c’est peut-être grâce à lui que notre bébé laisse un contour assez flexible à sa définition de « chien », tant qu’elle n’a pas été confortée par l’expérience. Il suffit de le corriger la première fois qu’il tente d’appeler « chien » une bestiole également poilue mais qui fait « miaou », pour qu’il ajuste immédiatement sa compréhension de ce qu’est un « chien » et qu’il crée une catégorie « chat » juste à côté.

Cette faculté d’apprendre des notions abstraites à partir d’observations disparates semble tout à fait courante dans la nature: on a vu que le sens des nombres est une compétence que nous partageons avec les singes, mais aussi avec les oiseaux ou les poissons. De la même façon les abeilles comprennent des notions abstraites telles que « au-dessus de » ou « en-dessous de ». Mais concrètement, comment fait-on pour faire ces abstractions?

Notre cerveau, une machine Bayésienne?

En statistiques, on sait calculer la probabilité qu’une cause ait tel ou tel effet. Au XVIIIe siècle, Thomas Bayes s’est attaqué au problème inverse, celui du raisonnement par induction: connaissant les effets, quelles en sont les causes probables? Un peu comme Sherlock Holmes, qui observant des gouttes d’eau sur la veste de quelqu’un, en conclut qu’il vient probablement de rentrer d’une averse.

Les chercheurs en psychologie cognitive se sont peu à peu convaincus que le calcul bayésien (expliqué ici) est le modèle qui décrit le mieux notre mode d’apprentissage (voir par exemple cet article un peu technique sur l’apprentissage de motifs visuels). Cette affirmation a de quoi surprendre quand on sait que le calcul bayésien donne souvent des résultats très contre-intuitifs! Le paradoxe de Monty Hall (dont je vous avais parlé ici) est typique de la façon dont on s’emmêle les pédales avec les règles de Bayes. Et les tests de dépistage  fournissent aussi de nombreux exemples qui semblent contraires au sens commun:

Si le calcul bayésien fait vraiment partie des algorithmes naturels de notre cerveau, comment expliquer que son application nous désoriente à ce point ?  Une explication pourrait être que ces problèmes font appel à des notions très abstraites, comme les pourcentages, les probabilités etc. et non pas à notre expérience vécue.  Or il serait logique de penser que notre cerveau, fruit d’une longue évolution, soit optimisé pour traiter les situations de la vie courante, notre expérience sensorielle intime.  Après tout, si les abeilles sont sensibles à des notions comme « en dessous » ou « au-dessus » c’est sans doute que ces notions leur sont souvent utiles pour retrouver leur chemin. A contrario, il n’est peut-être pas étonnant que notre cerveau soit désemparé lorsqu’on le soumet à une expériences de pensée déconnectée de notre vécu quotidien et à laquelle l’évolution ne l’a pas préparé.

Notre sens intuitif du calcul bayésien reflète finalement toute la différence qu’il y a entre connaître et savoir. La connaissance (de sa langue maternelle par exemple) est empirique, informelle, elle est « incarnée » en nous. Le savoir (savoir réciter des règles de grammaire par exemple) est au contraire verbalisable, structuré et peut appartenir au seul domaine de l’intellect.

Voir c’est interpréter en fonction de ses a priori

Je ne sais pas si cette explication est la bonne, mais un indice va dans ce sens: les ingrédients du calculs probabilistes échappent pour une bonne part à notre contrôle conscient. Regardez l’image ci-dessous:

Normalement, vous devriez voir tantôt un creux (en bas) entouré de bosses, tantôt une bosse (en haut) entourée de creux. En réalité c’est la même image que vous voyez, mais qui se retourne verticalement. L’impression de profondeur (ou de relief) vient du fait que l’on assume que l’éclairage vient d’en haut et qu’en général les dégradés de lumière correspondent à des ombres. Notre interprétation de la réalité combine ce que l’on observe (des ronds avec des dégradés de gris) et des a priori complètement implicites (la lumière vient d’en haut, les dégradés sont des ombres). Dès que l’on regarde quelque chose, on convertit instantanément et sans s’en rendre compte le signal visuel en une image qui a « du sens ». Voir c’est d’abord interpréter ce qu’on voit, en fonction de ses propres a priori.

Face à une observation ambiguë, on choisit l’interprétation (le modèle) qui est à la fois cohérente avec ces observations ET qui correspond à une réalité familière, déjà vue. Sans le savoir, vous venez de faire un raisonnement typiquement bayésien:

 

C’est ainsi que s’explique par exemple cette extraordinaire anamorphose végétale devant l’Hôtel de Ville:

On ne peut pas éviter de voir une magnifique sphère même si on sait que c’est une illusion. L’explication bayésienne est très simple: une sphère serait à la fois cohérente avec l’observation (c’est le terme du milieu dans l’équation, la « vraisemblance » de l’explication) et cette forme est très plausible a priori (terme de droite de l’équation qui exprime la « familiarité » du modèle explicatif), bien plus plausible en tous cas que l’improbable construction de la photo de gauche (qui représente pourtant la réalité).

Bayes en cascade…

Les raisonnements statistiques classiques se donnent un modèle une fois pour toutes et se contentent d’ajuster les paramètres pour faire coller au mieux le modèle aux observations. Le modèle bayésien est beaucoup plus puissant puisque le modèle lui-même peut être optimisé par un calcul bayésien, une induction opérée au niveau supérieur et ainsi de suite. Comme en linguistique où le sens d’un mot peut (en partie) se deviner à partir de sa catégorie (nom, verbe…), catégorie qui elle-même est inférée par l’écoute de nombreuses phrases. Cette induction « en cascade », à plusieurs niveaux est incroyablement efficace. Tenenbaum montre qu’un algorithme bayésien permet par exemple de reconstruire automatiquement des classifications « naturelles », comme la structure arborescente des familles d’animaux, le spectre gauche-droite des partis politiques ou encore l’anneau circulaire autour duquel se distribuent nos perceptions des couleurs:

La prise en compte de l’expérience

L’autre avantage du calcul bayésien, c’est qu’il n’est pas statique. Par principe, chaque observation contribue à ajuster (ou renforcer) le modèle pour l’observation suivante. Si l’on passait son temps à voir des anamorphoses toute la journée, il y a fort à parier qu’on finirait par moins s’y laisser prendre. Pour ce qui concerne l’apprentissage des  jeunes enfants, leur flexibilité mentale s’explique sans doute par le fait que leurs schémas mentaux n’ont pas encore été consolidés par une grande accumulation d’expérience.

A l’inverse plus on vieillit, plus on a du mal à remettre en question des croyances confortées par des années d’expérience. Dans le fond, c’est un petit peu la même chose qu’en histoire des sciences: plus une théorie explique de phénomènes, plus il est difficile de la remettre en question par une observation contradictoire (je pense par exemple à la relativité générale et l’épisode des neutrinos censés être plus rapides que la lumière).

J’ai découvert plein d’autres propriétés fascinantes de la théorie bayésienne… que je vous propose d’explorer dans un prochain billet (ici!).

Sources:
Ce billet est inspiré du cours de Stanislas Dehaene au Collège de France (sa conférence est ici, et son support de cours ici)
Tenenbaum & al: How to grow a mind (Science 2011, pdf)
J Fiser: Perceptual learning and representational learning in humans and animals (Learning and Behavior 2009, pdf)

Billets connexes:
Les bébés, ces génies de la statistique (le billet précédent)
Notre cerveau joue aux dés, pour comprendre d’autres illusions visuelles
Non sens interdit, sur notre incorrigible quête de sens

La statistique pour se répérer dans le langage

Pendant longtemps on s’est demandé si les enfants apprenaient leur langue maternelle grâce à un sens inné de la grammaire (l’école de Chomski) ou par un simple effet de conditionnement appris, à force d’entendre certains mots associés à certains objets (c’est la théorie de Skinner, dont je vous ai parlé ici). Aujourd’hui, on penche de plus en plus pour une troisième voie, faisant intervenir la statistique comme pour l’apprentissage de l’écriture. Quand un bébé entend « oh! le joli bébé », comment sait-il que « jo-li » est un mot et que « li-bé » n’en est pas un (ou presque!)? La prosodie peut les aider (ce « parler bébé » qui énerve tous ceux qui ne sont pas les parents!) mais aussi les statistiques: après la syllabe « jo » ils ont très souvent entendu la syllabe « ji » alors qu’après « li » ils ont souvent entendu autre chose que  la syllabe « bé ». En termes statistiques, les syllabes d’un mot ont une probabilité conditionnelle beaucoup plus grande que celles d’un pseudo-mot.

Pour savoir si cette hypothèse statistique tient la route, les chercheurs ont inventé une langue artificielle avec des mots (« tokibu » ou « gikoba ») et des pseudo-mots (« bi-giko ») dont ils maîtrisaient complètement la statistique des syllabes. Pendant deux minutes ils ont fait écouter à des bébés de huit mois cette langue étrange, débitée pendant deux minutes sur un ton monocorde et ont ensuite observé s’ils étaient plus réceptifs à l’écoute des mots que des pseudo-mots, même s’ils avaient entendu aussi les mots que les pseudo-mots. Le résultat est sans appel: les bébés détectent les mots grâce à leur sens des probabilités conditionnelles!

Représentatif ou pas, cet échantillon?

Pour savoir si l’enfant est sensible à la notion de représentativité statistique, on joue sur la proportion de boules bleues initialement présentes dans l’urne:

Part 2: Résoudre c’est dévisser!

On a vu dans l’épisode précédent que trouver les racines d’un polynôme se fait en jouant sur les « symétries » de ses racines, en regardant ce qui se passe quand on les « étiquette » de toutes les façons possibles. Ces symétries renvoient à leur tour à des figures géométriques particulières: deux points en miroir pour le second degré, un triangle équilatéral pour le polynôme du troisième degré. Le génie de Galois a été de montrer que cette correspondance est en fait générale: résoudre une équation revient à décomposer sa figure géométrique caractéristique en symétries élémentaires. Les choses commencent à devenir vraiment intéressante pour le quatrième degré…

Le tétraèdre est soluble dans un rectangle (et un triangle)

Au total  il y a donc 24 façons de placer les racines sur les 4 sommets du tétraèdre (4 x 3 x 2=24) et ces 24 dispositions s’obtiennent géométriquement en combinant le sous-groupe des symétries autour des médiatrices (4 dispositions), avec un sous-groupe des rotations autour d’un sommet fixé (3 éléments) et une transposition simple (2 éléments):

Cette décomposition peut s’exprimer encore plus simplement. On a vu dans le dernier billet que trois rotations combinées à une transposition forment exactement le groupe des symétries du triangle. Quant aux symétries axiales autour des médiatrices du tétraèdre, bizarrement elles correspondent aux symétries d’un rectangle (qui elles aussi forment un groupe):

En termes de symétries,  notre tétraèdre est donc symboliquement le « produit » d’un rectangle par un triangle!

Elle est pas belle ma formule?

Dissiper progressivement l’ambiguïté entre les racines

A mesure qu’on retire des symétries, on cerne de mieux en mieux l’identité des racines, un peu à la manière dont on comprend qui est Juan Lopez Fernandez à partir de son nom complet en Espagnol: on commence par situer sa famille (Lopez) qui comprend tous ses cousins, frères et soeurs, puis on isole sa fratrie par le nom de sa mère (Fernandez). Enfin son prénom Juan le distingue de ses frères.

Les quatre étapes de la résolution algébrique (détaillées dans le dernier billet) reviennent à effectuer les opérations symboliques suivantes, en commençant par la droite:

 

Bon mon analogie avec Juan Lopez Fernandez a des limites parce qu’en algèbre chaque racine est jumelle de toutes les autres, selon la façon dont on les considère, mais vous voyez l’idée: on réduit progressivement « l’indiscernabilité » de chaque racine par rapport aux autres en retirant une après l’autre les relations qui la lient à ses copines. On se croirait dans un essai de René Girard, et sa théorie mimétique!

Cette place centrale donnée à la symétrie dans les équations est sans doute ce qui fait le charme de la « théorie de l’ambiguïté » de Galois. Elle illustre à merveille cette définition de la symétrie que proposa le mathématicien Hermann Weyl:  »cette sorte d’harmonie entre les diverses parties grâce à quoi elles s’intègrent dans un tout: la beauté est liée à cette symétrie-là ».

Allez, vous avez bien mérité un petit clip pour digérer tout ça (et même si vous ne comprenez pas l’Allemand, on en a Cure…):

Le dodécaèdre (5^eme degré) ne se divise pas

Un dodécaèdre (source Wikipedia)

Mais contrairement au tétraèdre ou au triangle, si vous essayez d’aller plus loin et de décomposer le dodécaèdre avec une de ces rotations, il vous reste entre les mains un tas de configurations qui n’a plus rien de symétrique. Autrement dit, A5 n’est divisible par aucune rotation ou transformation élémentaire. Pour le comprendre, prenez cinq symboles (a,b,c,d,e) et essayez d’écrire une expression algébrique « presque symétrique » avec ces lettres. Vous vous rendrez vite compte qu’en permutant les lettres, votre expression peut prendre une, deux ou cinq valeurs différentes (qui correspondent aux trois symétries identifiées: identité,  transpositions de sommets deux à deux et rotations dans l’axe des pentagones), mais jamais trois ou quatre valeurs différentes:

Traduite en termes algébriques, cette « indivisibilité géométrique » signifie que les racines du polynôme de degré 5 sont (généralement) tellement intriquées les unes dans les autres qu’on ne peut en démêler l’écheveau!  Or, nous dit Galois, une équation algébrique n’est résoluble que si la forme géométrique associée est « décomposable » en rotations et permutations élémentaires. Si, comme dans le cas d’un polynôme du 5° degré, ce n’est pas le cas, il est impossible de calculer « algébriquement » ces racines. Algébriquement signifiant au moyen des opérations arithmétiques classiques (+ – : et *) et des racines.

En géométrie, les nombres premiers jouent un rôle aussi important qu’en algèbre. Tous les polyèdres réguliers ayant un nombre premier de côtés sont « indivisibles »: leurs symétries de rotation ne sont pas décomposables en sous-groupes de symétrie plus petits. Un triangle, un pentagone ou un heptagone réguliers constituent donc des briques de base pour la géométrie. Mais contrairement au monde des entiers ce ne sont pas les seules! Certaines figures géométriques comme le dodécaèdre sont, comme on l’a vu, indivisibles géométriquement alors que le nombre de leurs côtés (60) n’est pas un nombre premier.

L’existence de telles briques élémentaires de ce deuxième type est la raison profonde pour laquelle certaines équations algébriques n’ont pas de solution algébrique. La théorie de Galois montre en effet qu’une équation n’est résoluble algébriquement que si  la figure associée est une combinaison de polyèdres ayant un nombre premier de côtés (ses symétries sont divisibles en symétries élémentaires du premier type). Si au contraire cette figure contient une brique élémentaire du deuxième type, comme le dodécaèdre, l’équation associée (du 5eme degré dans ce cas) n’admet pas de racine algébrique.

A pieds joints dans le calcul!

Cette façon très novatrice qu’ a eu Galois d’envisager la géométrie et ses figures de symétrie a eu une influence extraordinaire dans un tas de domaines scientifiques. De là est née la théorie des groupes bien sûr, mais ses répercutions se sont aussi fait sentir en physique des particules (où les symétries jouent un rôle clé) ou même en cryptologie! Et son travail sur les équations lui-même connaît actuellement un renouveau, grâce à la puissance des ordinateurs.

Jusque récemment, on n’utilisait sa théorie que pour savoir si une équation est résoluble ou pas. Certes Galois proposait une méthode de calcul avec laquelle il invitait ses successeurs à « sauter à pieds joints sur ces calculs; grouper les opérations, les classer suivant leurs difficultés et non suivant leurs formes ». Mais la complexité de son algorithme devient vite trop effrayante et l’on préférait d’autres méthodes plus simples. L’arrivée des ordinateurs a radicalement changé la donne et remis les outils de Galois au goût du jour. Dans une conférence à l’Académie des sciences, Alain Connes en donne un aperçu. A ce stade, j’avoue que j’ai totalement décroché mais les maths ont alors quitté depuis longtemps le domaine de la logique pour rejoindre celui de la contemplation. A vous de voir (à partir de la 48^eme minute)…

Evariste Galois

« Les bons mathématiciens trouvent des analogies entre les théorèmes ; les excellents mathématiciens arrivent à voir des analogies entre les analogies » disait Stephan Banach. Parmi ces correspondances extraordinaires, j’ai découvert au hasard de mes lectures celle que le jeune Evariste Galois avait établie entre l’algèbre des polynômes et la géométrie des figures symétriques.

Part 1: Un polyèdre derrière chaque polynôme

Avertissement aux âmes sensibles: La théorie est assez costaud mais je vais essayer de vous en présenter les grands principes sans vous infliger une explication (dont je serais bien incapable du reste!) sur les automorphismes et les extensions de corps. Cela étant, certains passages  contiennent encore pas mal de X et peuvent choquer les plus mathophobes. Mes prochains billets seront moins hard, promis!

Mesurer son champ avec un polynôme

Mais d’abord, pour répondre à l’inévitable question de mon numbertwo: « A quoi ça sert ces polynômes? ». Et bien, pour une fois, la réponse est simple: les polynômes permettent de résoudre un tas de problèmes de la vie courante. Prenons par exemple un polynôme simple: P(x)=x²-Px+S. Ses racines L et l (c’est à dire les valeurs de x pour lesquelles P(x)=0) vérifient les relations L+l=P et Ll=S (il suffit pour s’en convaincre de développer P(x) réécrit sous la forme (x-L)(x-l)).

Résoudre P(x)=0 permet donc de trouver les dimensions L et l d’un champ rectangulaire dont on ne connaît que le périmètre (2P) et la surface S (héhé, je n’avais pas choisi mes paramètres au hasard ) Pas étonnant que l’on s’intéresse à ce genre d’équations depuis l’Antiquité! Les anciens qui n’avaient pas encore inventé les nombres négatifs,  résolvaient ce genre de problème de façon entièrement géométrique:

Fonctions « presque » symétriques des racines…

Dans notre exemple, L+l et Ll sont des fonctions « symétriques » des racines, c’est-à-dire que leur valeur ne dépend pas de la façon dont on « étiquette » L et l (on pourrait choisir pour L la plus petite des solutions plutôt que la plus grande). On vient de voir que ces deux fonctions s’expriment à partir des coefficients P et S de P(x). Il s’agit là d’une propriété tout à fait générale, valable quelque soit le degré n du polynôme de départ. Si P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+….+a_nxⁿ  a pour racines r₁, r₂, r₃… r_{n ,} alors toute expression f(r₁,r₂,r₃…) invariante par permutation des racines s’écrit comme une combinaison des coefficients de P(x), c’est-à-dire qu’il existe une fonction F telle que f(r₁,r₂,r₃…) = F( a₀,a_1,a₂,…a_n). Inversement, toute expression formée à partir des coefficients a₀ ,a₁, a₂, … a_n de P(x) est une fonction symétrique des racines r₁,r₂,r₃… r_n.

C’est une propriété anodine et connue depuis longtemps mais au XVIII^eme siècle, Lagrange la poussa un cran plus loin: il remarqua que si une fonction des racines est « presque symétrique », c’est-à-dire qu’elle ne prend que k valeurs différentes quand on change l’étiquetage des racines, alors ces k valeurs sont les racines d’un polynôme « auxiliaire » de degré k, dont les coefficients s’expriment en fonction de ceux de P(x).

Pas de panique! C’est plus simple que ça n’en a l’air: pour notre polynôme de départ P(x)= x²-Px+S, l’expression (r₁-r₂) ne prend que deux valeurs différentes (L-l) et (l-L) selon ce qu’on choisit d’appeler r₁et r₂. Lagrange affirme simplement que ces deux valeurs sont les racines d’un « polynôme auxiliaire » de degré 2: P’(x)=x²-P²/4+S. C’est juste une manière compliquée de dire que si on appelle Δ le discriminant de P(x) défini par Δ²=P²/4-S, alors   L-l=+/-Δ. Mais en mathématiques, il faut parfois savoir compliquer un peu les choses pour les rendre plus simples à résoudre (rappelez-moi de faire un billet là-dessus…)

En découdre avec les polynômes du troisième degré

C’est cette propriété qui permet de résoudre les équations du troisième degré sur laquelle on s’est pris la tête durant des siècles. En observant toutes les méthodes de résolutions qui marchaient, Lagrange s’aperçut qu’elles utilisaient toujours cette propriété remarquable des fonctions « presque symétriques »:

Etape 1: on forme une expression u³(r₁ r₂ r₃) qui ne prend que deux valeurs possibles U et V quand on change l’étiquetage des trois racines (r₁ r₂ r₃). U et V sont donc les racines d’un polynôme auxiliaire de degré 2 connu (je graisse à chaque fois qu’on calcule une nouvelle quantité).

Etape 2: Une fois  U et V connus on peut calculer u et v puisque u³= U et  v³=V.

Etape 3: Un peu de gymnastique algébrique permet de « remonter » depuis u et v jusqu’aux racines r₁, r₂ et r₃ recherchées

Le détail des calcul ci-dessous pour ceux que ça intéresse (ils peuvent même cliquer pour agrandir):

 

Quatrième degré? Facile!

Pour le quatrième degré, c’est presque plus simple. Cette fois on forme une expression du genre f(r_i)=r₁ r₂+ r₃r₄ (on peut aussi choisir f’=(r₁+r₂)( r₃+r₄) par exemple), fonction « presque symétrique » des racines, qui ne prend que trois valeurs possibles quand on permute les racines de toutes les façons possibles (A=r₁ r₂+ r₃r_{4 ;}  B=r₁ r₃+ r₂r4 et C= r₁r₄ +r₂ r₃) . Une fois qu’on a calculé A, B et C, on remonte par étapes jusqu’aux racines de P(x) (les détails du calcul sont sur cet excellent site consacré à Galois).

Toujours pour ceux que ça intéresse:

Etape 1: On peut calculer A, B et C puisque ce sont les racines d’un polynôme auxiliaire de degré 3 dont on connaît les coefficients.

Etape 2: On s’intéresse ensuite aux quantités (r₁ r₂) et( r₃r₄) dont on connaît la somme (A) et le produit a₀ (terme constant du polynôme P(x)). Les quantités (r₁r₂) et( r₃r₄) sont donc les racines d’un nouveau polynôme auxiliaire de degré 2 et on peut sans problème les calculer.
Idem pour les quatre autres paires de racines (r₁ r₃); (r₁ r₄); (r₂r₃); (r₂r₄) et (r₃r₄)

Etape 3: On s’attaque maintenant aux quantités (r₁+r₂) et (r₃+r₄), dont on connaît la somme (-a₃, coefficient du terme en x³ de P(x)) et le produit (AB): on peut donc calculer (r₁+r₂) et (r₃+r₄) qui sont les racines d’un troisième polynôme auxiliaire de degré 2. Idem pour les autres paires de racines (je vous les écris pas…)

Etape 4: Une fois qu’on connaît  (r₁+r₂) et (r₁ r₂), on peut calculer r₁et r₂ en extrayant les racines d’un quatrième polynôme auxiliaire de degré 2. Et voilà!

On remonte donc aux quatre  racines grâce à une série de quatre polynômes auxiliaires (un de degré 3 et trois de degré 2) formés à partir d’expressions « presque » symétriques des racines r₁ r₂,r₃ et r₄ recherchées. Peut-on extraire comme ça les racines de n’importe quel polynôme quelque soit son degré? Il fallut attendre le XIX^e siècle pour qu’Abel montre que cette belle méthode n’allait pas plus loin. Il n’y a pas de formule magique pour extraire les racines d’ équations du 5^eme degré, mais il fallut tout le génie de Galois pour comprendre pourquoi, grâce aux lois de la géométrie…

Bilan: une figure géométrique derrière chaque équation

Si on reprend notre polynôme de départ P(x)=x²-Px+S et que l’on place ses racines (r₁et r₂) sur une règle graduée, on constate qu’elles sont « en miroir » l’une de l’autre par rapport au nombre P/2:

Le coup de génie de Galois fut de généraliser ce type de correspondance et d’associer une figure géométrique propre à chaque polynôme. Cette figure reflète géométriquement les symétries qui lient les racines entre elles. Chaque relation de symétrie entre les racines du polynôme correspond à une transformation géométrique qui laisse la figure invariante, et vice-versa.

Pour un polynôme du troisième degré, la figure associée est un triangle équilatéral:

Si l’on se représente les trois racines  (r₁ r₂ r₃) comme les sommets d’un triangle équilatéral (dans le plan complexe), il y a six manières de les disposer sur le triangle, donc six manières de les permuter à partir d’une situation initiale. Ces six permutations possibles correspondent aux six transformations géométriques qui laissent le triangle inchangé:

- trois rotations autour du centre (schéma de gauche) correspondant aux trois permutations cycliques des sommets

- trois symétries autour des des médiatrices du triangle (schéma de droite) qui transposent deux à deux les sommets.

Les rotations du triangle forment un sous-groupe car la combinaison de deux rotations est une rotation (ce n’est pas vrai des symétries axiales). Et si vous y réfléchissez, vous verrez qu’il suffit de combiner une seule symétrie axiale avec toutes les rotations possibles, pour retrouver les six transformations possibles du triangle.

Le groupe des symétries du triangle peut en quelque sorte se « diviser » par le sous-groupe de ses rotations pour donner une transposition de deux sommets:

La méthode de résolution de l’équation du troisième degré n’est rien d’autre que la mise en oeuvre algébrique de cette décomposition géométrique:

- L’étape 1 (polynôme auxiliaire du second degré) correspond à l’extraction d’une symétrie axiale particulière (dont u et v sont deux représentants)

- L’étape 2 (extraction d’une racine cubique) correspond aux trois rotations (=permutations cycliques) appliquées à cette symétrie.

Si on peut résoudre une équation du troisième degré, c’est parce qu’on peut décomposer les transformations d’un triangle en rotations et en symétries axiales élémentaires. Voilà schématiquement ce que découvrit Galois à 20 ans. Dans le prochain billet, je vous expliquerai comment ça marche pour les degrés supérieurs…

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(Billet paru cette semaine dans le + du NouvelObs)

La panne de trois jours qui a frappé tous les utilisateurs du “Blackberry mail” en octobre 2011 a traumatisé quelques-uns de mes collègues. L’un d’eux, qui se trouvait à l’étranger à ce moment là, me confiait qu’il avait le sentiment d’être exclu de l’entreprise, inutile et vaguement coupable de n’être même pas capable aux sollicitations de ses pairs.

Plus je communique, plus j’existe.

C’est vrai qu’il y a six ou sept ans, avoir un Blackberry conférait une sorte de supériorité professionnelle. On était au courant de tout avant tout le monde, on réagissait avant tout le monde sur les mails importants, même si on était en déplacement. Et puis, à mesure que le Blackberry s’est démocratisé, il est devenu normal de répondre dans la minute qui suit au mail de son patron. J’ai même vu des réponses automatiques d’absence pour une matinée de rendez-vous extérieur!  Une de mes collègues a même deux mobiles- un Blackberry et un iPhone – car pour traiter ses mails dans le métro il y en a toujours un des deux qui capte mieux que l’autre. On se poste désormais devant son mail comme l’ouvrier jadis devant sa chaîne de production. Mais contrairement à lui, le cadre moderne est heureux avec son tonneau des Danaïdes qui se remplit plus vite qu’il ne se vide. Car chaque mail reçu prouve que l’on compte un peu dans l’entreprise, que quelqu’un a pensé à nous l’envoyer. On mesure son importance au nombre de courriels reçus par jour. Alors forcément, le jour où le mail tombe en panne, le monde s’écroule. Ne plus recevoir de mails c’est le premier signe d’une mise au placard. Derrière la consultation frénétique de sa messagerie se cache le besoin de se rassurer sur sa place réelle dans l’organisation.

Et puis éplucher ses mails les uns après les autres est une manière bien pratique de faire son boulot sans trop se poser de questions sur la manière de s’y prendre, avec en prime le sentiment du devoir accompli une fois qu’on a fini. L’imagerie cérébrale a montré que chaque envoi de mail procure une micro-satisfaction, par le simple fait de s’être prouvé à soi-même qu’on a su y répondre, qu’on est réactif et fidèle au poste. On devient vite accroc à ces petites doses de dopamine qui ont le même effet dans notre cerveau -toutes proportions gardées!- que le sexe, la drogue ou le rock&roll. Certains de mes collègues ne savent plus discuter sans garder l’oeil et le pouce sur leur smartphone, à l’affût du moindre mail entrant. On prend son shoot de mail comme on grille une clope pour recevoir sa dose de nicotine.

Plus je communique, moins je comprends ce qui se passe!

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Je reçois une centaine de mails par jour. Bien moins que d’autres, mais bien plus que ce qui me serait vraiment nécessaire pour faire mon boulot correctement. Sous prétexte de transparence, le moindre compte-rendu de réunion a au minimum une dizaine de destinataires et est accompagné en pièce jointe de l’inévitable document PowerPoint de trente pages. Et il en est toujours un pour signaler une imprécision dans ce compte-rendu. En « réponse à tous » bien entendu. Suit alors parfois une longue partie de ping-pong à ce sujet, prenant la Terre entière pour témoin. Sous ce déluge de « non-information » je passe plus de temps à écoper ma boîte de réception en essayant de ne pas passer à côté de ce qui est important. Mais je participe moi-même sans m’en apercevoir à cette entropie délirante.

Plus j’ai d’outils de communication, plus je suis seul…

La communication directe, d’humanoïde à humanoïde est la grande perdante de l’hystérie informationnelle. Si l’on ne veut pas crouler sous les messages en attente le lendemain matin, il faut “dépiler » sa boîte mail en permanence. Même en réunion, il n’est pas rare que tout le monde ait le nez plongé dans son PC (ou son mobile, c’est plus discret) à l’exception de celui qui parle… dans le vide. Réagir par mail est devenu plus naturel que de décrocher son téléphone -réservé aux cas d’urgence. Est-ce parce qu’il permet aussi de contrôler ce qu’on écrit, de garder une trace et -surtout- de ne pas trop s’impliquer émotionnellement si le sujet est délicat? Je ne sais pas, car même chez mes ados de fils je constate le même phénomène: ils n’appellent plus leur copains mais sont capables de passer des soirées entières à tchatter sur facebook ou à s’échanger des textos. C’est d’ailleurs grâce à sa messagerie instantanée que Blackberry survit encore, face à la déferlante de smartphones concurrents. La communication se vit désormais surtout au doigt et à l’oeil.

Quant à se déplacer pour voir les gens et leur parler directement, c’est paradoxalement devenu plus compliqué depuis que les openspace se sont généralisés. Vous me direz qu’ils ont été conçus pour que les gens se parlent d’avantage. Certes, mais traumatisés par un brouhaha auquel ils n’étaient plus habitués, les locataires de ces grands espaces ouverts ont exigé le silence autour d’eux. On tolère le chuchotement entre voisins de bureaux mais le moindre éclat de voix provoque des regards venimeux. Alors pour s’épargner le courroux de ses collègues, on échange par mail entre voisins. La messagerie instantanée a progressivement remplacé le petit bavardage informel entre collègues-copains, en attendant la pause café ou le déjeuner. Entre temps, il faut se contenter le plus souvent de rapports électroniques avec ses pairs…

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Travailler ou communiquer, il faut choisir…

Le travail de fond a aussi fait les frais de cette communication tous azimuts. On s’accoutume vite au mode de travail haché où l’on traite plusieurs choses en même temps, au point que l’on perd peu à peu sa capacité à se concentrer. Pour lutter contre cet effondrement de la productivité, Thierry Breton a annoncé qu’il interdirait l’usage du mail en interne chez Atos. Je ne sais pas si ça va changer quoique ce soit, mais c’est vrai que je me surprends parfois à procrastiner quand il s’agit de traiter un dossier de fond et une fois que je m’y mets, je m’interromps toutes les cinq minutes pour consulter mes mails. Il y en a toujours un plus urgent à traiter que ce satané dossier. En désespoir de cause, je rentre chez moi pour m’atteler à la tâche. Et là, miracle. Loin des sollicitations du bureau, volontairement privé de mail, je boucle mon dossier en moins de deux heures. Et au lieu du plaisir fugitif que je ressens quand j’ai fini de traiter mes mails, c’est une satisfaction durable que j’éprouve alors, comme après avoir nagé un kilomètre ou couru pendant une bonne heure. Après l’ère de l’hypercommunication paralysante, va-t-on enfin atteindre l’âge de la non-communication hyperefficace?

Je vous ai parlé dans mon dernier billet de la façon dont, face à une image ou un son ambigü, notre cerveau utilisait le hasard et les probabilités pour « tirer » aléatoirement une interprétations possible du signal. Un peu à la manière d’un système de particules intriquées où le hasard est le seul à définir l’état dans lequel on observe le système parmi tous les états probables. L’analogie  entre neurosciences et physique quantique est tentante, mais elle a ses limites. Une fois qu’un système quantique a été observé, il est irréversiblement modifié et réduit à une de ses valeurs propres. Les mesures ultérieures sur ce système donneront ensuite toujours la même valeur. Il en va tout autrement pour notre cerveau, puisqu’après qu’il ait donné une réponse, on peut sans problème lui demander un deuxième choix. C’est d’ailleurs cette possibilité qui a permis d’explorer encore plus loin son fonctionnement intime…

Notre attention est aussi l’objet du hasard…

Que se passe-t-il quand on s’entraîne à détecter un signal très furtif et que l’on se trompe mettons 20% des fois. La réponse semble à peu près évidente: on avait simplement mal vu le signal dans 20% des cas. Mais puisqu’on a appris à se méfier des évidences, on peut aussi imaginer un scénario alternatif. Puisque le hasard guide nos réponses conscientes, on peut supposer qu’on n’a ni mieux ni moins bien vu ce qui se passait lors des essais ratés. Simplement pour tous les essais, on n’aurait jugé le bon résultat probable qu’à 80% en moyenne. Selon ce scénario audacieux, l’incertitude des réponses ne se concentrerait pas sur les essais ratés, mais elle se nicherait au cœur de chacun des essais, y compris quand ils sont réussis. Comment savoir si la variabilité de nos réponses est inter-essais ou intra-essais?

Pour le savoir une équipe du MIT a demandé à des volontaires de s’entraîner à repérer certaines lettres entourées d’un cercle, parmi une série qui défilait rapidement. Les sujets devaient donner la lettre qu’ils pensaient être la bonne, puis devaient donner un second choix, puis un troisième etc. Le raisonnement des chercheurs a été le suivant:
- Si on se trompe parce qu’on a mal vu certains essais,  les deuxièmes choix des essais ratés devraient être très biaisés.
- Si on se trompe à cause de l’incertitude propre à chaque essai, les premiers et les deuxièmes choix devraient suivre la même loi de distribution centrée autour de la réponse exacte, aussi bien pour les essais réussis que pour les essais ratés.

L’analyse de la distribution des deuxième choix pour les essais ratés penche très clairement en faveur de la deuxième hypothèse. Aussi bizarre que ça puisse paraître, premiers, deuxièmes et troisièmes choix semblent effectivement être le résultat d’un tirage aléatoire sur une distribution de probabilités parfaitement centrée autour de la bonne réponse!

Tout comme nos perceptions sensorielles, nos réponses attentionnelles semblent donc elles aussi déterminées aléatoirement parmi l’ensemble des réponses probables. Mais contrairement à un système quantique (dont la mesure ne fournit qu’un seul état parmi tous les états possibles), il suffit de poser la question pour connaître les différentes réponses envisagées par notre cerveau.

La sagesse des foules… dans sa tête!

Pourquoi s’arrêter en si bon chemin? La même équipe du MIT s’est demandé si on ne pourrait envisager que notre cerveau fonctionne de la même façon probabiliste lorsqu’il s’agit de fournir un jugement ou une opinion. Il faudrait alors considérer que ce que notre cerveau considèrerait comme notre » meilleure réponse » (best guess) serait non pas la réponse la plus vraisemblable, mais une des réponses possibles, choisie avec une probabilité égale à son degré de vraisemblance.  Je ne sais pas si vous voyez à quelle point cette idée est contre-intuitive: par définition, le « best guess » est la réponse que l’on imagine être la plus vraisemblable. Or ce modèle prédit paradoxalement qu’on maximise ses chances de tomber juste en moyenne si l’on prend la moyenne de ses choix de premier, de deuxième et de troisième ordre!

Billets connexes
Le billet précédent, pour ceux qui ont raté le début
Etrange perspicacité collective sur le phénomène de sagesse des foules
Les abeilles ça déménage (2/2) où on fait l’analogie inverse: l’essaim, comme modèle de cerveau virtuel

Perception bistable

Les illusions d’optiques sont très utiles pour comprendre comment notre cerveau interprète la réalité. Prenez la fameuse image de la danseuse qui tourne sur elle-même. On a l’impression qu’elle tourne tantôt dans un sens, tantôt dans l’autre.

Si vous regardez suffisamment longtemps, le sens de rotation de la danseuse finit par s'inverser...

Il est très difficile de maîtriser consciemment le sens dans lequel on la voit tourner et le moment où on bascule d’une interprétation à l’autre. Mais le plus étrange c’est qu’à aucun moment nous n’avons conscience de la moindre ambiguïté: on est sûr de la voir tourner comme ceci ou comme cela. L’ambiguïté n’apparaît qu’après coup, quand on se rend compte que notre point de vue a changé alors que le film est toujours le même. On retrouve cette oscillation de notre perception entre deux interprétations possibles (que l’on appelle perception bistable) dans pas mal d’illusions classiques :

Quelques illusions célèbres

Dans toutes ces images, on voit tantôt une chose, tantôt une autre mais jamais un mélange des deux en même temps, comme si notre mode d’interprétation de la réalité fonctionnait en mode « tout ou rien ».

L’illusion existe aussi avec des signaux sonores! Les enfants savent bien qu’à force d’entendre répéter en boucle ton chat – ton chat – ton chat… on finit par entendre chaton-chaton-chaton… (pour prendre un exemple poli . Des chercheurs du CNRS ont fabriqué un petit montage audio dans lequel on entend tantôt un seul son qui monte et qui descend, tantôt deux signaux distincts qui s’alternent. Les transitions d’une interprétation à l’autre suivent exactement les mêmes lois que pour les illusions visuelles.

Des dés dans la tête?

Comment le cerveau « choisit-il » tel ou tel interprétation et surtout pourquoi ne reste-t-il pas fixé une bonne fois pour toutes sur son premier choix? Une hypothèse intéressante serait  que notre cerveau passe automatiquement en revue chaque interprétation possible et lui attribue un degré de vraisemblance. L’interprétation retenue à instant donné serait non pas la plus probable mais une interprétation tirée au sort parmi toutes les possibles, avec d’autant plus de chance d’être choisie qu’elle est vraisemblable. Ainsi s’expliqueraient les bascules d’une interprétation à l’autre: plus on fixe longtemps un signal ambigu, plus on a de chances de tirer au sort différentes interprétations. Un tel modèle prédit que ces changements sont imprévisibles et que le délai entre deux bascules soit suivre une loi de distribution bien particulière, propre aux tirages stochastiques. On a pu constater que cette prédiction est très raccord avec les mesures expérimentales (on demandait à des volontaires de regarder une telle image et d’appuyer sur un bouton tout le temps qu’ils percevaient telle interprétation plutôt qu’une autre):

Le test du modèle…

Très récemment, des chercheurs ont confirmé de façon encore plus flagrante cette hypothèse d’un tel « tirage aléatoire » entre les différentes interprétations, chacune ayant une probabilité correspondant à sa vraisemblance relative. Ils ont utilisé pour cela l’illusion visuelle suivante (il vous faut un lecteur Shockwave pour la voir fonctionner):

L'illusion de la grille (cliquer sur l'image pour lancer la démo)

Deux grilles orientées différemment (par exemple /// et \\\ ) se déplacent dans des directions différentes. En fonction du montage utilisé on perçoit soit un mouvement unique et groupé, soit deux mouvements différents et superposés (l’analogue de l’illusion sonore que j’évoquais plus haut). Mais on s’est intéressé ici à une autre ambiguïté visuelle, bistable elle-aussi, liée à l’impression de profondeur: c’est tantôt une grille tantôt l’autre qui semble être au premier plan. Les chercheurs ont observé que, toutes choses égales par ailleurs, plus une grille a des barreaux serrés par rapport à l’autre, plus on la voit en dessous de l’autre. Et pareil si une grille va plus vite que l’autre et on peut mesurer le biais de perception induit par chaque facteur pris isolément. Si notre cerveau fonctionne effectivement en combinant des tirages probabilistes, alors on peut prédire à partir de ces mesures empiriques ce que les sujets percevront quand on combine les deux facteurs. Les calculs collent spectaculairement avec les résultats de l’expérience.

source: d'après Moreno-Bote & al. Bayesian sampling in visual perception (2011)

Face à un signal sensoriel ambigu (mais quel signal ne l’est pas?), nos perceptions conscientes semblent donc bel et bien le résultat d’un tirage au sort parmi toutes les interprétations possibles. La durée durant laquelle on privilégie une interprétation plutôt qu’une autre est directement proportionnelle à sa vraisemblance.

L’analogie quantique

 

Sources:
Le cours de Stanislas Dehaene sur le cerveau Bayésien, qui a directement inspiré ce billet (en particulier celui du 31 janvier 2012)
Moreno-Bote & al. (2011) Bayesian sampling in visual perception (pdf)

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L’oreille magique, sur des illusions sonores tout aussi spectaculaires

L’idée est doublement dure à admettre. D’abord parce qu’elle suppose qu’il existe une date au delà de laquelle on ne peut remonter. Or on se représente intuitivement l’échelle du temps comme la droite des nombres réels. Et une droite c’est infini des deux côtés. Qu’est-ce qui pourrait bien nous empêcher de remonter une seconde avant le Big Bang? Ensuite le statut d’un tel instant 0 fait mal à la tête: comment s’explique-t-il s’il n’y avait rien avant lui, ni temps ni espace… Peut-on concevoir qu’un phénomène aussi fondateur (puisque tout découle de lui) n’ait été créé par rien du tout? Difficile d’avaler un tel concept si l’on n’est pas croyant!

L’instant zéro: une simple convention mathématique…

Cette histoire de commencement de l’univers m’a turlupiné jusqu’à ce que je lise le dernier bouquin d’Etienne Klein (Discours sur l’origine de l’Univers) qui est un bijou de pédagogie. En résumé, Klein défend l’idée que cette histoire d’instant 0 (qu’on confond en pratique avec le « Big Bang », l’explosion d’énergie qui a suivi) est presque d’avantage un phénomène culturel qu’une théorie scientifique. On sait que la trame de notre univers se dilate depuis toujours, comme un ballon qui se gonfle, et les équations de la relativité générale sont parfaitement raccords avec les observations d’une telle expansion. Comme rien ne nous empêche de remonter le film de l’Univers à l’envers, il y eut nécessairement un temps lointain où il était riquiqui et l’on peut même calculer sur le papier l’instant exact où il a pu être réduit à un point sans dimension. Cet instant zéro fournit certes une référence universelle bien pratique pour situer temporellement les stades de développement de l’Univers, mais Klein explique que jamais la communauté scientifique n’a attribué de réalité physique à cet instant théorique, pour une raison très simple: en-deçà d’une certaine taille de l’Univers (correspondant à l’échelle de Planck 10^-35m, 10^-43s)  les équations relativistes ne sont plus valables car elles ne prennent pas en compte les effets de la physique quantique, très sensibles à cette échelle. C’est parce que tous les scientifiques sont d’accord sur ce point qu’ils ne se prennent pas trop la tête sur la signification pratique de cet instant zéro. Sauf que ça, ils ne le disent jamais explicitement!

Les deux seuls théories qui s’attaquent à ce « mur de Planck » -la théorie des cordes et la la gravitation quantique à boucles- concluent l’une comme l’autre à un Univers primordial qui n’a pas pu descendre en dessous d’une taille minimale. Résultat d’autant plus remarquable que les deux théories partent de postulats radicalement opposées. Dans un cas comme dans l’autre il n’y pas eu de « singularité initiale » avec des grandeurs qui s’envolent à l’infini. A la place de « l’instant zéro », les deux théories suggèrent plutôt un scénario de « Big Bounce » (grand rebond) selon lequel notre univers se serait contracté très fortement avant de rebondir lorsqu’il est devenu trop petit. Pourquoi le « pré-univers » se serait-il contracté alors que le nôtre semble au contraire accélérer son expansion? On n’en sait rien du tout, mais au moins cette question a-t-elle le mérite de changer radicalement l’objet du débat, et la question du temps zéro ne se pose plus du tout…

La symbiose entre temps et taille

Mais mettons de côté ces arguments d’ordre physique et supposons un instant qu’il y eut  à un moment donné un instant 0. Serait-ce si fou que cela? La question renvoie à la définition même du temps. Qu’est-ce que le temps, si ce n’est le rythme auquel des grandeurs physiques (non temporelles) évoluent. Le temps n’existe que s’il est incarné par des trucs qui bougent matériellement: le déplacement de l’aiguille d’une horloge, le passage d’un rayon lumineux, la longueur d’onde d’une radiations etc. Le temps ne peut pas être dissocié d’une certaine matérialité et en ce sens il fait partie de l’Univers lui-même. Comment évolue le temps dans un monde qui grandit ou rapetisse continûment? Il suffit de réfléchir à la manière dont le rythme des choses varie en fonction de leur taille. Plus le bras d’un pendule oscillant rapetisse, plus sa fréquence augmente (si vous l’avez oublié, la période de ses oscillations est proportionnelle à la racine carrée de sa longueur). Plus courte est la longueur d’onde d’un rayon, plus rapide est sa fréquence. Plus la distance entre deux points diminue, plus l’aller-retour entre ces deux points est vite fait. Idem pour le monde du vivant : la fréquence cardiaque des animaux diminue avec la taille des animaux et en moyenne, plus ils sont gros plus ils vivent longtemps. D’ailleurs on a remarqué qu’au total, le coeur d’un animal produit toujours aux environ d’un milliard de battements, quelque soit l’espèce et sa taille de la bestiole, du mulot à l’éléphant:

source: HJ Levine, Rest heart rate and life expectancy (1997)

Bref, tout semble indiquer que le temps s’écoule plus vite quand les longueurs sont petites. Essayons de montrer ça un peu rigoureusement dans le cas d’un monde qui se dilate.

Pourquoi la dilatation de l’espace ralentit-elle le temps qui passe?

Supposons que vous ayez un téléscope superpuissant qui vous permet de regarder un poste de télévision placé sur la planète Zorglub, située à des milliards d’années lumière de la Terre. C’est loin mais votre appareil est vraiment très performant et puis pour rien au monde vous ne rateriez la Coupe Intergalactique des Nations diffusée en exclusivité sur Canal Zorglub. Qu’allez-vous voir du match? D’abord, l’image est rougeâtre. Ensuite c’est bizarre, on dirait que le match se déroule au ralenti. La télé sur Zorglub est-elle détraquée? Même pas. Il se trouve que sous l’effet de l’expansion de l’espace, les délais tout comme les longueurs d’onde s’allongent au même rythme que le facteur d’échelle de l’espace – a(t) dans le schéma ci dessous.

La dilatation de l’espace (le rapport entre les facteurs d’échelle a(t) pris à des instants différents) agit comme une espèce de ralentisseur du temps et de l’action. Inversement, le rythme des choses s’accélère dans un univers qui rapetisse. Pour avoir une idée du « vrai » rythme des choses, il faut choisir une échelle de temps qui élimine l’effet du facteur d’échelle a(t) soit dto= dt/a(t). Avec cette échelle, vous verriez le match sur Zorglub à vitesse normale. Par contre, on n’a toujours pas éclairci le mystère d’un instant zéro (si tant est qu’il existe).

L’échelle de temps « naturelle »

On pourrait évacuer le problème en remplaçant notre mesure du temps t par une échelle logarithmique Log(t) qui renverrait le temps 0 à l’infini mais ce ne serait là qu’un artifice de calcul, sans justification physique. Jean-Marc Lévy Leblond a donc cherché une échelle de temps -appelons-la θ – qui mesure l’âge de l’Univers en utilisant une métrique bien définie et sans équivoque. Et comme on ne mesure pas l’âge de l’Univers tous les jours, on aimerait bien aussi pouvoir l’utiliser pour mesurer le délai entre deux événements. Il nous faut donc une échelle arithmétique pour θ, permettant d’additionner et de soustraire cette variable temporelle comme bon nous semble pour mesurer des durées  Δθ.

Pas de bol, la seule métrique objective et universelle que l’on ait sous la main est le facteur d’échelle a(t) qui correspond à une échelle géométrique (c’est-à-dire défini à un coefficient de proportionnalité près). Entre deux événements c’est en effet non pas la différence Δa(t) qui a un sens mais le rapport a(t2)/a(t1). Il faut donc définir θ de sorte qu’une même durée de temps Δθ s’écoule chaque fois que l’univers double de taille. Par exemple, l’horloge à θ peut faire un tour complet du cadran chaque fois que l’Univers double de taille.

L’outil préféré des mathématiciens pour convertir une échelle géométrique (celle du facteur d’échelle) en une échelle arithmétique (celle du temps θ) est le logarithme. En choisissant un temps t0 de référence pour lequel on définit arbitrairement que a(t0)=1 et  θ0=0, ça donne θ=log(a(t)) c’est à dire 

Au passage je suis frappé par le nombre de variables dont la mesure « naturelle » est logarithmique (j’en avais déjà fait une longue liste dans ce billet).

Instant 0? Quel instant 0?

Notre nouvelle définition d’un temps additif θ est prête! Il vous suffit de retirer de l’équation précédente toute référence au temps « cosmique » t et de n’utiliser que les variables θ et a. Ca donne:

θ=log(a) et

Et là, tan tan! Plus d’instant zéro! Vous pouvez remonter le temps aussi loin que vous voulez, chaque fois que la taille de l’univers est divisée par deux, votre montre retarde imperturbablement d’un tour de cadran. Comme l’explique Lévy-Leblond,  »Du point de vue du temps additif donc, il n’y a pas  de début : l’Univers a toujours été là et le Big Bang n’a jamais commencé ». Et il s’amuse même à recalculer la chronologie de tous les grands événéments qui ont marqué la vie de l’Univers depuis le début. Comme on pouvait s’y attendre, ils se distribuent de façon bien plus régulière sur l’échelle de temps additive θ que sur l’échelle de temps habituelle:

Le Big Bang, un nouveau mythe originel?

Récapitulons: du point de vue des physiciens, l’instant zéro n’a pas de réalité matérielle avérée, et quand bien même il en aurait une, ça ne leur poserait pas de problème métaphysique pourvu qu’on ait une échelle du temps qui tienne la route. Etienne Klein pointe du doigt le gap immense entre ce fait bien connu des scientifiques et la perplexité du grand public devant ce qu’il prend pour une réalité physique. Pourquoi aussi peu de scientifiques prennent-ils la peine de dissiper le malentendu? Sans doute, suggère-t-il, est-ce lié à la fascination qu’exerce le Big Bang sur le grand public, bien au-delà du registre purement scientifique. Lorsque le terme est né d’une boutade radiophonique dans les années 1950, il est très vite sorti du champ scientifique et sa puissance évocatrice a colonisé irréversiblement l’imaginaire collectif. L’idée n’était pas neuve – Friedman et Lemaître en avaient écrit les bases théoriques dès les années 1920- mais il avait manqué jusque là une image forte qui la propulse au rang de mythe fondateur. Sans le vouloir, les scientifiques ont créé un substitut à l’ancienne mythologie biblique. Et l’on ne déracine pas une mythologie avec des raisonnements scientifiques, aussi pédagogiques et convaincants soient-ils.

Cette construction d’une métrique universelle qui peut s’additionner et qui ne connaît pas de limite ni vers le haut ni vers le bas vous rappelle sans doute mes histoires de « rapidité » en relativité. C’est normal! Les deux raisonnements développés par Jean-Marc Lévy-Leblond tirent leur source d’un même théorème mathématique qui montre qu’en gros on peut toujours transformer une grandeur ayant une limite absolue (comme la vitesse d’un corps ou le temps) en une variable « naturelle » pouvant s’additionner et se soustraire facilement (pour ceux que ça intéresse, ce théorème montre précisément que « tout groupe continu à un paramètre est isomorphe à un groupe additif », voilà voilà!). Du coup, je vous pose une question à cent balles qui m’a trotté dans la tête. Avec le même genre de démarche pourrait-on imaginer une échelle « naturelle » des températures qui n’ait pas de limite inférieure? La réponse en commentaire la semaine prochaine!

Sources:
JM Lévy-Leblond: L’âge de l’Univers est-il vraiment fini (pdf), qui a inspiré ce billet, et Additivité, rapidité, relativité pour le fameux théorème sur l’additivité
Le modèle de Friedman-Robertson-Walker expliqué dans un cours de cosmologie de l’Université d’Helsinki
A lire aussi le Geo Savoir, sur le Big Bang qui sort mercredi prochain (mais que j’ai pu me procurer en avant-première) avec justement une interview d’Etienne Klein sur le sujet.

Billets connexes:
Cosmologie fastoche 1 sur le facteur d’échelle
Life in the fast lane, sur la même démarche appliquée à la vitesse.
Notre sens du logarithme sur d’autres cas où le logarithme explique bien des choses

Les populations oscillent aussi!

Les statistiques sont une source inépuisable de découvertes intrigantes, y compris lorsqu’il s’agit de statistiques commerciales. La Compagnie de la Baie de Hudson par exemple a publié pendant près de 70 ans les quantités de fourrures vendues chaque année par les trappeurs Canadiens. Ces chiffres, qui sont une bonne estimation de la taille des populations animales chassées, laissent apparaître d’étonnantes périodicités dans les populations de lynx et de lièvres de la région entre 1850 et 1930:

Les fluctuations de la population des lynx et des lièvres au Canada

Les lynx se nourrissant des lièvres, on se doutait bien que plus il y a de lièvres, plus il y a de lynx, mais qu’au bout d’un moment la surpopulation de lynx fait chuter le nombre de lièvres. Et faute de lièvres à se mettre sous la dent, la population de lynx diminue à son tour, ce qui permet à la population de lièvres de croître à nouveau et ainsi de suite. Mais pourquoi les populations de proies et de prédateurs ne se stabilisent-elles pas autour d’une valeur d’équilibre? Pourquoi observe-t-on des maxima et des minima qui reviennent périodiquement? C’est justement la question que se posa le mathématicien Vito Volterra en 1925.

Le modèle proies-prédateurs de Lokta-Voltera

Le gendre de Volterra, Umberto d’Ancona était zoologue et il était intrigué par certaines statistiques de pêche dans la mer Adriatique. Il avait observé que durant les années de guerre, entre 1915 et 1920 en gros, on avait pêché une proportion anormalement élevée de requins et de poissons prédateurs (les Sélaciens) ce qui laissait supposer que leur population avait elle-même fortement augmenté durant ces années. Il se demandait si ce phénomène pouvait être lié à la baisse de l’activité halieutique durant la guerre et il soumit ce problème à son matheux de beau-père. Volterra imagina un modèle très simplifié pour tenter d’expliquer ce phénomène. Il supposa que la croissance de la population des proies (les sardines, les crevettes…) diminue en fonction du nombre de prédateurs présents dans le milieu et  inversement il fit l’hypothèse que la croissance du nombre de prédateurs augmente en proportion directe du nombre de proies à leur disposition.

(Amis mathophobes fermez les yeux ou passez au paragraphe suivant). Si x et y désignent le nombre de proies et de prédateurs, ces hypothèses s’écrivent sous forme d’équations différentielles:
- Côté proies, la croissance en l’absence de prédateurs vaut dx/x=a : c’est la loi malthusienne de croissance géométrique des populations en l’absence de contraintes. En présence de prédateurs, cette croissance est réduite: dx/x=a-by; b étant le taux de prédation et y le nombre de prédateurs.
- Côté prédateurs maintenant:  en l’absence de proies, la population diminue très vite: dy/y=-c La présence de proies x à croquer contrebalance cette diminution: dy/y=-c +dx, d étant un paramètre inconnu.
En changeant d’unité pour x et y, on peut réduire tous ces paramètres à un seul (α) avec le système d’équations suivant: x’=x(1-y) et y’=-α y(1-x) En patouillant un peu ces deux équations on trouve que α(Log(x) – x)+Log(y)-y=constante.
x et y décrivent ainsi des « orbites » fermées centrées autour d’une valeur moyenne (x=1,y=1)

Ce modèle prédit donc que les populations de poissons-prédateurs et celles des proies dont ils se nourrissent ne sont pas stables dans le temps, mais oscillent périodiquement autour d’une valeur d’équilibre, exactement comme les lynx et les lièvres du Canada:

Les prédateurs, plus fragiles que les proies

Mais ce modèle tout simple permet aussi de répondre à la question du lien entre l’intensité de la pêche et la proportion de prédateurs parmi les poissons. Si l’on suppose que l’on pêche indifféremment des proies et des prédateurs, le modèle prédit en effet que la pression s’exerce davantage sur les prédateurs que sur les proies!

Si ε exprime le taux de pêche dans chacune des populations de proies et de prédateurs, les deux équations caractéristiques du système deviennent:
x’=x(1-y) -εx et y’=- αy(1-x) -εy. En écrivant qu’à l’équilibre x’=0 et y’=0, on s’aperçoit que l’équilibre n’est plus en (x=1,y=1) mais en (x=1+ ε/α; y=1-ε). Il y a en moyenne moins de prédateurs mais plus de proies!

Comme l’écrit Volterra « si l’on détruit les deux espèces uniformément et proportionnellement aux nombres de leurs individus (assez peu pour que les fluctuations subsistent), la moyenne du nombre des individus de l’espèce dévorée croît et celle de l’espèce dévorante diminue. » Une intensification de la pêche favoriser donc les proies au détriment des prédateurs et vice versa, comme l’avait imaginé d’Ancona. On comprend que son modèle soit devenu un must dans tous les cours d’écologie, associé au nom d’Alfred Lotka qui découvrit le même modèle à peu près à la même époque mais de façon indépendante.

Comme toujours la réalité est un poil plus compliqué. Si l’on regarde de près les statistiques d’Ancona, on se rend compte que la réalité est sans doute bien plus complexe. D’une part l’augmentation de la proportion de Sélaciens est vraiment très légère sur la période 1915-1920, mais surtout elle démarre dès 1910 dans la région de Triestre, bien avant la guerre et la diminution de l’activité de pêche qui l’accompagna. Il se pourrait donc bien que les explications de Volterra, aussi élégantes soient-elles, ne collaient pas tout à fait avec la réalité.

Mais qu’importe. Le modèle de Lokta-Volterra fut l’un des pères d’une nouvelle science, l’écologie, dotée désormais d’un outil de modélisation capable de confronter des prédictions avec des mesures.

Où qu’ils sont les seuils?

On retrouve dans ce modèle la plupart des caractéristiques propres à l’auto-organisation et dont on a parlé dans des billets précédents: un système hors d’équilibre,  un phénomène de croissance auto-amplifiée (celle du nombre de proies, en l’absence de prédateurs) et un feedback négatif (les prédateurs qui croquent leurs proies), le tout aboutissant à des oscillations périodiques. Mais, lecteur attentif de ce blog, vous noterez sans doute qu’une propriété essentielle de l’auto-organisation manque à l’appel: l’existence de seuils, à partir desquels le système bascule brusquement d’un état d’équilibre à un autre. Où sont les seuils???

Ce n’est pas très compliqué d’imaginer où ils se cachent: dans le modèle de Volterra les prédateurs sont beaucoup plus sensibles que les proies à la surpêche. Et lorsqu’à la fois les prédateurs et les proies se font rares (c’est à dire quand x et y tendent vers 0) les équations indiquent que la population des prédateurs chute de façon brutale (y’~-αy, soit y~ e^-αt) tandis que celle des proies se reconstitue rapidement (x’~x soit x~e^t). Et il semble raisonnable d’imaginer qu’en deçà d’une certaine densité, la population de prédateurs ne parvient plus à se reproduire et risque de disparaître.

D’ailleurs, si l’on modifie légèrement le modèle de Lotka-Volterra en supposant qu’en l’absence de prédateurs, la population des proies finit par saturer à un certain niveau maximum, on découvre plusieurs phénomènes intéressants. D’abord la taille des populations fluctue toujours mais de moins en moins et finit par converger vers la valeur d’équilibre (c’est la jolie spirale de la figure ci-dessous). Ca expliquerait que l’on n’ait quand même pas beaucoup d’exemples de fluctuations démographiques aussi marquées que celles des lynx et des lièvres du Canada. Ensuite, on observe que pour certaines valeurs des paramètres, l’équilibre bascule complètement. Si le volume de proies passe sous un certain seuil, la population des prédateurs chute et disparaît complètement:

Une loi universelle de l’écologie?

Or j’ai découvert en écoutant « Sur les Epaules de Darwin« , qu’une étude très récente avait confirmé cette prédiction dans un cadre un peu différent mais toujours lié à la pêche. Des chercheurs ont voulu comprendre l’influence de l’activité de la pêche sur l’évolution démographique des oiseaux qui dépendent eux-aussi des poissons pour se nourrir. En analysant comme Volterra l’avait fait cent ans plus tôt, les statistiques halieutiques de différentes régions du monde, ils ont constaté que  la population des oiseaux chute dès que le stock de poissons vivant dans une zone est réduit des deux tiers sous l’effet d’une pêche trop intensive (cliquez sur l’image pour l’agrandir, elle est issue de l’étude citée plus haut):

source ici

Mais leur découverte la plus surprenante est que cette règle semble universelle: quelque soit l’écosystème étudié, l’équilibre démographique des oiseaux se rompt brutalement dès que le seuil-critique de 2/3 est franchi, mettant alors en péril la survie de l’espèce si la pression écologique se poursuit. Espérons juste que l’universalité d’une telle loi impressionnera autant les autorités politiques que les scientifiques épris d’auto-organisation…

Sources:
Sur l’histoire des Lynx et des lièvres du Canada, une  analyse très fouillée de JR Lobry(Université de Lyon) avec des modèles dérivés de celui de Voltera.
Sur l’histoire du modèle Voltera, un article de Jean-Marc Ginoux (Université du Sud).
L’émission de  Jean-Claude Ameisen « Sur les épaules de Darwin » (tous les samedis matin à 11H sur France Inter)
Cury, Boyd& al: Global Seabird Response to Forage Fish Depletion: One-Third for the Birds  (Science, déc 2011, pdf)

Billets connexes:
Ce billet fait suite à deux billets concernant les mécanismes de l’auto-organisation:
Aussitôt oscille l’eau  sur la manière dont l’eau peut se mettre à aller et venir
La fièvre de l’ordre ou comment l’ordre peut naître de la chaleur (et de la convection).