Surprenantes dimensions

15/12/2012
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Le concept de dimension n’a l’air de rien quand on le découvre au lycée: un espace à une  dimension est un axe tout simplement, à deux dimensions c’est une surface plane, en trois dimensions on ajoute la notion de profondeur. On n’arrive pas bien à se représenter quatre dimensions, mais mathématiquement ça n’est jamais qu’un monde où les vecteurs ont quatre coordonnées au lieu de trois, et ainsi de suite. Mais derrière leur similitude de façade, ces différents mondes imbriqués les uns dans les autres comme des poupées russes exhibent parfois des particularités mathématiques très déroutantes…

Le cochonnet géant

Commençons par balayer quelques idées préconçues sur la taille des objets. Prenez un carré de côté 4 et tracez à l’intérieur quatre cercles de diamètre 1 tangents entre eux et aux bords du carré. Au centre il reste un peu de place pour dessiner un petit cercle (en bleu), tangent aux quatre cercles voisins. Vous pouvez imaginer le même montage en dimension 3, avec quatre huit boules de pétanques rangées dans une boite cubique et un cochonnet au milieu:

Que se passe-t-il dans un hypercube de dimension n rempli d’hypersphères? Ne vous faites pas une entorse du cerveau en essayant de le dessiner, calculons juste le rayon du « petit » cercle central: Aussi bizarre que ça puisse paraître, à mesure que le nombre de dimensions augmente le cochonnet au centre devient de plus en plus grand, tout en restant tangent aux hyperboules voisines. En quatrième dimension l’hypercochonnet est aussi grand qu’elles. Dès la dixième dimension son rayon vaut √10 -1, il est donc plus grand que l’hyperboîte. Si on augmente encore le nombre de dimensions, l’essentiel de son volume est même à l’extérieur de cet hypercube!

La conjecture de la saucisse

Source: New Scientist

Bientôt Noël! Vous avez vu un peu juste en papier cadeau, il va donc falloir être économe en emballage. Heureusement, vous n’avez que des trucs ronds à emballer: des disques (à emballer « à plat » et non pas empilés), des balles de tennis et même -après tout c’est Noël- des hypersphères d’un peu toutes les dimensions. Comment allez-vous vous y prendre?

Commençons par les disques plats (dimension 2): jusqu’à 6 disques, le mieux est de les emballer alignés les uns derrière les autres, comme une chenille de char. Mais dès que vous en avez 7 ou plus, mieux vaut les grouper  en hexagone…

Les balles de tennis maintenant (dimension 3). Personnellement je les aurais empilées… et j’aurais eu tout faux car la forme pyramidale n’est optimale qu’à partir de 57 balles. Si votre cadeau est moins généreux, il vaut mieux opter pour le format « aligné » (comme comme sur le dessin) qui fait ressembler le paquet à une sorte de saucisse, très sobre en emballage.

Pour vos hypersphères en quatre dimensions, même chose: tant que vous offrez moins de 50 000 hyper-balles de tennis,  vous devriez les emballer alignées au format « hyper-saucisse ». Au-delà c’est moins clair. Pour 100 000 hypersphères une forme arrondie  est plus optimale, mais on n’a pas trouvé quel est le meilleur emballage  ni le seuil à partir duquel l’hyper-saucisse n’est plus la meilleure solution…

En cinquième dimension et au-delà, plus de question à se poser! Le mathématicien Fejes Thot est convaincu que la saucisse est toujours plus avantageuse, quel que soit le nombre d’hypersphères. A ce jour on a réussi à démontrer sa conjecture  pour les dimensions supérieures à 42 (!), mais pas encore pour celles qui sont comprises entre 5 et 41…

L’épicier et ses hyper-oranges

C’est bien beau d’économiser le papier cadeau, mais comment rentre-t-on ces énormes paquets sous le sapin?  Le problème du rangement optimal des sphères est une question célèbre qui agite les neurones des mathématiciens depuis longtemps. Déjà en 1610 Kepler conjectura en regardant son épicier empiler des oranges, que la forme pyramidale était la plus compacte en volume. Ça semble évident mais il fallut attendre 350 ans pour qu’on arrive à démontrer ce résultat en 1998.

Empilement optimal de 35 sphères. Source Wikipedia

Passons aux dimensions supérieures. En dimension 4, cet empilement est encore le meilleur et c’est vrai en dimension 5, 6, 7, 8, 9, 10…. Mais n’allez pas conclure trop vite! Cette méthode est optimale dans toutes les dimensions… sauf UNE: la dimension 24. En 1965 John Leech découvrit une manière encore plus économique d’empiler des hyper-oranges de 24 dimensions, et sa méthode ne fonctionne que pour cette dimension et pas une autre.

Pourquoi 24 et pas 23 ni 25? Personne n’en sait rien mais en théorie des groupes -la branche mathématique à laquelle appartient ce problème- ce genre de bizarreries est plus que fréquente. Chaque dimension possède sa ménagerie particulière de groupes de symétrie. A titre d’exemple, le groupe de symétrie le plus complexe qu’on connaisse (qu’on surnomme le groupe Monstre) n’existe que dans un espace à 196 884 dimensions!

La dégénerescence des hypercomplexes

Cette dégénérescence des grandes dimensions est courante en algèbre. Souvenez-vous de la construction des nombres complexes. On part des nombres réels qui forment un espace à une dimension. A partir d’une paire de réels, on définit le plan des nombres complexes qui s’additionnent et se multiplient parfaitement et dont la racine est toujours définie (c’est bien l’intérêt). Seul petit bémol, ils ne se comparent plus (i n’est ni plus grand ni plus petit que 1).

Une fois qu’on sait construire les nombres complexes, il semble naturel de partir à la conquête des dimensions supérieures. Pourrait-on trouver un espace en trois dimensions où l’on puisse additionner et multiplier des triplets de nombres? Hamilton fut le premier à essayer et il se cassa les dents sur cette question. Par contre, il découvrit en 1843 qu’on n’a pas ce problème dans la quatrième dimension. Mais les quaternions ainsi créés souffrent d’une maladie congénitale: leur produit n’est pas commutatif (A*B n’est pas égal à B*A). Un peu comme les rotations dont la combinaison est commutative dans le plan mais pas dans l’espace: l’ordre des rotations est important quand on joue au Rubik’s Cube!

Pour grimper dans les dimensions supérieures, il faut rééditer la ruse de Hamilton et doubler la dimension à chaque étape. Mais c’est au prix d’une dégénérescence de plus en plus grave: en dimension 8, voici les octonions dont le produit n’est plus associatif: A*(B*C) ne vaut pas (A*B)*C. La dimension 16 est encore plus étrange puisque ses sédénions sont divisibles par zéro! Dans un tel espace il est impossible de définir une « norme », c’est-à-dire de mesurer quoi que ce soit. Les mathématiciens ont du coup renoncé à aller plus loin dans leur quête…

dimension nom limite
1 réels -
2 complexes perte de la comparaison
4 quaternions perte de la commutativité
8 octonions perte de l’associativité
16 sédénions perte de la mesure
Merci à Karim pour son dessin

Le monde des hypercomplexes vus par Karim

L’étrange zoologie des polytopes

A l’inverse, les grandes dimensions permettent (parfois) de simplifier les choses. Visitons par exemple le zoo des figures régulières (convexes) de la géométrie classique, tels que les polygones, les polyèdres etc.

- En dimension 1, il n’y a qu’une seule figure régulière finie: le segment. Un monde uniforme et ennuyeux…

- En dimension 2, on construire un polygone régulier, en assemblant de façon symétrique plusieurs segments égaux. Il y a une infinité de polygones différents car on peut choisir n’importe quel nombre de segments. Liberté totale!

- En dimension 3, les polyèdres réguliers s’obtiennent en assemblant symétriquement des polygones réguliers. Le retour à l’ordre est sévère car il n’y a plus que cinq possibilités, les fameux solides de Platon:

Les cinq polyèdres convexes de Platon: tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre. Source ici

Seuls le triangle, le carré et le pentagone ont droit de cité en dimension 3, les autres polygones (hexagone, heptagone etc.) se contentent d’une existence plate et sans relief. – En dimension 4, on parle de « polytopes réguliers » qu’on construit en assemblant symétriquement des polygones réguliers de dimension 3. Il n’y en que a six, toujours à base de triangles, de carrés et de pentagones, avec des noms que le Capitaine Haddock n’aurait pas renié. Regardez par exemple cet hécatonicosachore, un assemblage de 120 dodécaèdres!

Différents points de vue sur un hécatonicosachore en 4D. Source Wikipedia

- En dimension 5 et au-delà, les choses se régularisent et se simplifient brusquement (façon de parler). Il n’y a plus que trois polytopes réguliers: les n-simplexes (définis à partir de tétraèdres) les hypercubes et  les hyper-octaèdres. Je me suis amusé à tracer un arbre généalogique de toutes ces figures: polychore Le nombre de figures dans chaque dimension suit donc une suite étrange: 1, ∞, 5, 6, 3, 3, 3, 3…  Je ne peux  m’empêcher de faire le parallèle avec l’arbre phylogénétique du vivant lors de l’explosion précambrienne (dont on avait parlé ici): après une extinction massive (une seule figure en dimension 1), le nombre de familles explose littéralement (une infinité de polyèdres en dimension 2), puis il se réduit fortement (cinq en dimension 3, six en dimension 4, trois en dimension 5), avant de se stabiliser (trois dans les dimensions supérieures).

Source ici

Tout comme l’arbre du vivant -et contrairement à ce qu’on a vu pour l’algèbre – seules les géométries très « régulières » échappent à l’extinction progressive en dimensions élevées. On le voit au nombre de cellules de ces polytopes: les survivants suivent des règles simples: n+1 cellules pour les n-simplexes, 2n pour les hyper-octaèdres, 2n pour les hypercubes. Tous les autres qui étaient régis par des formules exotiques ont disparu. La géométrie serait-elle allergique aux noms imprononçables? J’arrête là ma collection de bizarreries dimensionnelles. Et vous, laquelle préférez-vous? En connaissez-vous d’autres?

 Sources:

Ian Stewart: Mon Cabinet de Curiosités Mathématiques (pour la conjecture de la saucisse)
Marcus du Sautoy: les symétries ou les maths au clair de lune pour les étranges groupes de symétrie
La page de Wikipedia sur les polytopes en dimension 4 et celle sur les nombres hypercomplexes

Billets connexes

Dans combien de dimensions vivons-nous, un billet complémentaire sur les miracles de la dimension 3
E dans l’O: la géométrie de l’électromagnétisme: qui explique pourquoi l’électromagnétisme est une émanation de la troisième dimension

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18 Responses to Surprenantes dimensions

  1. 15/12/2012 at 16:20

    Autre bizarrerie du changement de dimension : l’hypervolume de la sphère unité. Jusqu’à la dimension 5, son volume croît, mais converge vers zéro à mesure que les dimensions augmentent !

    • 15/12/2012 at 19:01

      @ElJj: Ah pas mal, je la connaissais pas celle-ci. Je me disais bien qu’un tel sujet vous inspirerait ;-)

  2. bob
    16/12/2012 at 19:17

    mesurer quoique ce soit. ==> quoi que

    Très intéressant, comme toujours.

  3. MRR
    17/12/2012 at 17:51

    Dans le genre effets non intuitifs des dimensions élevées, Sergey Gavrilets a montré qu’avec de nombreux gènes (ou loci génétiques) impliqués dans la fitness, les « fitness landscapes » dans lesquels les espèces se baladent pour chercher des optima d’adaptation ne contiennent quasiment plus de vraies vallées (faible adaptation darwiniennes) : tout point est liés à un autre par chemin adaptatif. Ceci n’est pas vrai en 2 ou 3 dimensions, mais typiquement on parle de milliers ou de dizaines de milliers de gènes, donc autant de dimensions (plus ou moins, y a de la liaison génétique).
    Son bouquin : http://press.princeton.edu/titles/7799.html

    • 17/12/2012 at 23:48

      @MRR: fascinant en effet, ça me plaît beaucoup comme idée…

  4. 20/12/2012 at 18:24

    Miam ! Plein de bonnes choses !

    Pour le volume de l’hypercochonnet en dimension N, j’ai du mal a comprendre (et a voir) comment il peut etre plus volumineux que l’hypercube. N’est-il pas forcement inclus dans l’hypercube ? Le volume de l’hypercube est 4^N alors que celui de la sphere est C_N R^N ou R croit comme sqrt(N)… sauf que la constante C_N decroit furieusement avec N (http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area)

    J’ai essaye de faire rapido le calcul asymptotique en developpant C_N avec la formule de Stirling, mais je trouve une croissance en sqrt(2*pi*e)^N, qui ironiquement fait (4.13)^N. J’ai fait une erreur ou le cochonnet est vraiment plus grand que le cube qui le contient ??

  5. 20/12/2012 at 21:26

    Je ne sais pas si mon commentaire precedent est passe, mais entre temps j’ai fait le calcul numerique. Sauf erreur dans mon code, le volume de l’hypercube est toujours plus grand que celui de l’hyper-cochonnet, meme si la tendance asymptotique est similaire probablement en 4**N.

    Pour les curieux :

    # -*- coding: utf-8 -*-

    from pylab import *
    from scipy.special import gamma as Gamma

    N = 200
    nlist = range(1,N)

    logVcube = []
    logVsphere = []

    for n in nlist:
    logVcube.append(n*log(4)) # Hypercube : volume 4**n
    R = sqrt(n) -1
    Cn = pi**(n/2) / Gamma(n/2+1)
    logVsphere.append(log(Cn)+n*log(R)) # Hypersphere : volume Cn*R**n

    plot(nlist,logVcube)
    plot(nlist,logVsphere)
    show()

  6. ZombieKid
    03/01/2013 at 15:24

    Bonjour, merci d’éviter de dire n’importe quoi ! Concernant l’exemple des cochonnets : vous annoncez que la figure en 3d est composée de 4 boules alors qu’elle est en fait composée de 8 boules (conformément à l’illustration). De plus votre exemple de marche tout simplement pas car on ne peut pas passer d’une figure de 4 cercles inscrits dans un cercle à 4 sphères inscrites dans un cube… Si vous pensiez extrapoler en augmentant le nombre de cercles/sphere/hyperspheres/… dans le carré/cube/hypercube/… vous changez alors complètement de figure, ce n’est plus simplement la même figure qui augmente de dimension.

    • 04/01/2013 at 19:55

      @ZombieKid: Il y a bien sûr 8 boules dans la boite en 3D… mais pourquoi tant de haine? ;-)

  7. Ethaniel
    31/01/2013 at 11:53

    Hello!

    Trois petites précisions (facultatives) pourraient être apportées à l’arbre généalogique des N-polytopes convexes :
    A/ ajouter à la ligne N=2 quelques polygones d’ordre supérieur, chacun menant vers un panneau « sens interdit » à la ligne N=3 afin de visualiser l’élagage brutal de l’arbre ;
    B/ relier le segment à chacun des polygones afin d’affirmer le caractère « racine de l’arbre » du segment ;
    C/ outre le nombre de cellules (nombre de (N-1)-polytopes) en bas à droite de chaque figure, il pourrait être intéressant d’avoir le nombre de sommets (nombre de 1-polytopes) en bas à gauche de chaque figure, afin de constater l’(auto-)dualité des N-polytopes pour un N donné.

    En outre, j’ai constaté au moins trois petites erreurs dans ce même arbre :
    D/ la flèche horizontale allant du tétraèdre à l’octaèdre n’a aucune raison d’être ;
    E/ l’octaèdre ne dérive pas du triangle équilatéral mais du carré (et cela, bien que les cellules soient des triangles) ;
    F/ le nombre de cellules du segment est 2, non ∞.

    Pour le point E/, il suffit pour s’en convaincre d’appliquer la formule du nombre de cellules d’un N-hyperoctaèdre (2^N) au cas N=2 ;) (cette filiation fonctionne évidemment de même avec le nombre de sommets).

    Pour le point F/, un segment est certes constitué d’une infinité de points, mais avec ce raisonnement, un polygone régulier (qui ne se réduit pas à sa frontière, la surface compte aussi, cf. caractéristique d’Euler) est constitué d’une infinité de segments (et de points).
    Le nombre de cellules d’un N-polytope étant le nombre de (N-1)-polytopes *à sa frontière*, le nombre de cellules d’un segment vaut bien 2.
    Un autre manière de voir est de considérer le fait que, en vertu du point B/ ci-dessus, le segment est à la fois un 1-simplexe, un 1-hyperoctaèdre et un 1-hypercube, donc son nombre de cellules vaut simultanément N+1, 2^N et 2N avec N=1 =) !

    J’ai précisé « au moins trois » dans la mesure où je ne me suis pas encore penché sur les trois 4-polytopes réguliers sans descendance, je ne sais pas encore ce que je vais y découvrir ^^.

    • 31/01/2013 at 14:33

      Merci Ethaniel, ça c’est précis!
      J’achète la plupart de ces remarques (il me faut juste retrouver le fichier source pour corriger!) sauf deux que je ne comprends pas bien:
      Sur D: on dérive l’octaèdre du tétraèdre par simple juxtaposition, d’où la flèche.
      Sur E: je comprends l’argument formel, mais pas la construction. Mes flèches décrivent comment on passe d’une figure à l’autre. Comme l’octaèdre est fait de triangles, il faut nécessairement le dériver d’une figure faite de triangles non?

      • Ethaniel
        01/02/2013 at 13:57

        Avant d’oublier, je signale une assez grosse erreur que j’ai moi-même propagée dans mon précédent commentaire =_= : les cellules d’un N-polytope ne sont pas les (N-1)-polytopes composant sa frontière :
        • les cellules sont les 3-polytopes de la frontière (tout comme les faces sont les 2-polytopes, les arêtes sont les 1-polytopes et les sommets sont les 0-polytopes, quelle que soit la dimension N considérée) ;
        • les (N-1)-polytopes de la frontière d’un N-polytope se nomment des facettes (voir Polytope#Elements WP EN pour une liste plus complète, liste apparemment inexistante sur WP FR…)

        Pour D/, il n’y a aucun tétraèdre (régulier) dans un octaèdre : avec un angle diédral valant Arccos(1/3) (soit dans les 70,53°), il est difficile de juxtaposer les tétraèdres face à face pour former un octaèdre.
        On peut certes découper un octaèdre régulier en 8 tétraèdres, mais ces derniers n’auront rien de régulier (3 triangles rectangles isocèles + 1 triangle équilatéral).
        Digression : 70,53° est cependant proche de 72°, donc on peut peu ou prou assembler 5 tétraèdres réguliers autour d’une arête commune, ce qui, en répétant l’opération pour former un volume relativement régulier, conduit à un icosaèdre ! (Chose que, en bon physicien (je ne suis pas un matheux, hein), j’ai découverte par hasard au collège en cours d’arts plastiques :p.)

        Pour E/, un N-hyperoctaèdre unité est *défini* (ce n’est pas moi qui l’ai inventé) comme l’ensemble des points (x_1, x_2, …, x_N) de ℝ^N tels que ∑|x_i| ≤ 1 (la frontière étant bien sûr l’ensemble des points où la somme des valeurs absolues vaut exactement 1) : le N-hyperoctaèdre est donc à la norme 1 ce que la N-hypersphère est à la norme 2 et ce que le N-hypercube est à la norme ∞ ;).
        Dans un repère (orthonormé, bien entendu) de dimension 2, le 2-hyperoctaèdre est donc un 2-hypercube… mais tourné de 45° :D !
        Autre manière de voir : le 2-hyperoctaèdre étant le dual du 2-hypercube (le carré), on l’obtient en reliant le centre des arêtes de ce carré, ce qui donne un autre carré (là encore tourné de 45°), tout comme l’octaèdre est obtenu en reliant les centres des faces du cube.

        Répondons précisément à la question de la construction.
        Pour passer d’un N-hyperoctaèdre (que je noterai N-HO) à un (N+1)-HO :
        • on plonge le N-HO dans l’espace (euclidien, bien entendu) de dimension N+1 (le N-HO est donc contenu dans un hyperplan de cet espace) ;
        • on ajoute de chaque côté de l’hypersurface de cet hyperplan un sommet au centre du N-HO, chacun des sommets « déployant » des arêtes vers les 2N sommets du N-HO (mais pas vers l’autre sommet ajouté au même moment ;
        • on tire symétriquement sur ces 2 sommets, normalement (« orthogonalement ») à l’hyperplan, jusqu’à leur position finale à distance 1 (pour des HO unité) du centre du N-HO d’origine.

        Cela n’empêche certes pas les facettes de l’octaèdre d’être des triangles équilatéraux (de manière plus générale, les 2^N facettes d’un N-hyperoctaèdre sont des (N-1)-simplexes), mais la méthode de génération des N-hyperoctaèdres fait de l’octaèdre le descendant direct du carré, la forme des facettes n’étant qu’un caractère dérivé.
        D’ailleurs, le carré à l’origine d’un octaèdre est clairement visible si on le regarde « d’en haut » (projection sur un plan normal à un diamètre, ici l’axe z, mais ça marche aussi selon les axes x ou y).

      • Ethaniel
        01/02/2013 at 15:23

        Salut,
        Il semble que mon commentaire ne passe pas le filtre anti-spam, même si je retire l’URL dedans… (3 ou 4 essais depuis hier).
        C’est « hyperplan », le gros mot qui ne passe pas ^^ ?
        Ça me fait d’ailleurs penser à l’article sur le paradoxe de Langevin où mon commentaire n’est toujours pas passé…
        Dois-je renvoyer les 2 commentaires en question ?
        Merci.

        • 01/02/2013 at 23:18

          C’est le maudit filtre anti-spam qui est très capricieux. Par contre, je n’ai pas vu d’autre commentaire (mais je ne me souviens pas d’avoir fait d’article sur le paradoxe de Langevin!)

    • Ethaniel
      01/02/2013 at 10:03

      Correction dans le point C : les sommets sont des 0-polytopes (le lecteur aura corrigé de lui-même ^^ »).

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