Récréations mathématiques

>Comment faire une multiplication sans connaître ses tables de multiplication?

Magique, non?

En fait pas vraiment: pour trouver combien font 8 *7, il suffit de compter le nombre d’intersection entre 8 lignes parallèles croisant 7 lignes. En représentant astucieusement un nombre à plusieurs chiffres en groupes de traits parallèles -un groupe par chiffre-, on reconstitue la multiplication terme à terme des deux nombres. Easy!

C’est pratique pour les nombres dont les chiffres sont petits: jusqu’à 5. 122 * 232 ne pose pas de problème. Par contre dès qu’on a des chiffres au-delà de 6 ou 7, compter les intersections devient coton…

Méthode des paysans russes

Les paysans russes avaient trouvé une méthode beaucoup plus astucieuse, qui marche quelque soit la taille du nombre. Il suffit de savoir additionner, multiplier par deux et diviser par deux.

Méthode:
Ecrivez les deux nombres l’un à côté de l’autre
En dessous multipliez le premier par deux et divisez le second par deux (sans décimale)
Recommencez comme ça jusqu’à tomber sur 1 dans la deuxième colonne
Barrez toutes les lignes dont le second nombre est pair
Additionnez la première colonne dont les chiffres ne sont pas barrés
Vous avez le résultat!

Démonstration avec 538 x 248

538
248
1076
124
2152
62
4304 31
8608 15
17216 7
34432 3
68864 1
133424

Et donc 538*248 = 133 424
Evidemment ça aurait marché en mettant 248 dans la première colonne et 538 dans la seconde.

Décryptage
Cette méthode utilise astucieusement le fait que tout nombre entier se décompose (de manière unique) en somme de puissances de deux, propriété bien connue des Egyptiens qui avaient d’ailleurs trouvé une méthode de multiplication très semblable mais moins simple.

En l’occurence: 248= 8+16+32+64+128=23+24+25+26+27
Du coup 538*248=538*23+538*24+538*25+538*26+538*27
On reconnaît la somme des nombres non barrés dans la colonne de gauche.

Mais, direz-vous, pourquoi suffit-il de barrer les nombres pairs dans la colonne de droite pour trouver les bons facteurs de 2? Et comment on trouve la décomposition d’un nombre en puissances de 2, d’abord? C’est là toute l’astuce…

Décomposer un nombre en puissance de 2, revient à l’écrire en base 2.
Prenons un nombre au hasard, en base 2, par exemple 1110.
Divisons-le par 10 successivement et observons les restes: ce sont les chiffres qui composent ce nombre en base 2!
1110:10=111 reste 0 => c’est bien l’unité
111:10=11 reste 1 => c’est bien la dizaine
11:10=1 reste 1 => c’est bien la centaine
1:10=0 reste 1 => c’est bien le millier

Sur la base de cette observation, on obtient la décomposition d’un nombre en puissance de deux en le divisant successivement par 2 (2 s’écrit 10 en base 2): les restes de chaque division donnent les décompositions cherchées.

En l’occurrence 1110 en base 2 vaut: 23+22+21=14
Faisons le calcul:
14:2=7 reste 0 =>0 est l’unité en base 2
7:2=3 reste 1 => 1 est la dizaine en base 2
3:2=1 reste 1 => 1 est la centaine en base 2
1:2=0 reste 1 => 1 est le millier en base 2
14 s’écrit bien 1110 en base 2, autrement dit 14= 23+22+21

C’est bien cette même succession de divisions par 2 dans la méthode russe qui permet de retrouver la décomposition en puissances de 2. Barrer les nombre pairs revient à éliminer de la décomposition finale en puissances de 2, celles pour lesquelles le reste de la division par 2 vaut 0.

On reprend tout depuis le début (en gras les colonnes de la division à la russe):

Nombre doublé Opération Puissance de deux Nombre divisé par deux Opération Reste
538
538*20
20
248
248:2=124
0
1076
538*21
21
124
124:2=62
0
2152
538*22
22
62
62:2=31
0
4304
538*23 23 31
31:2=15 1
8608
538*24 24 15
15:2=7 1
17216
538*25 25 7
7:2=3 1
34432
538*26 26 3
3:2=1 1
68864
538*27 27 1
1:2=0 1


Total: 133424=
538*23+538*24+538*25+538*26+538*27= 538*(23+24+25+26+27)=538*248

Le tour est joué. Rusés Russes…

Allez si tout ceci vous a fait mal à la tête, voici une méthode beaucoup plus simple que toutes les autres qui marche même sans connaître les additions…

Références:

L’excellent site du Dr Math (en anglais) sur l’arithmétique et d’autres méthodes de calcul (en particulier la multiplication égyptienne).
Un
cours d’ethno-mathématique (pdf en anglais) sur un tas de systèmes très différents et parfois très rigolos pour compter ou calculer.

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