Photon ou vraie prise de tête?

Les drôles de paradoxes de la mécanique quantique sont normalement des friandises réservées à ceux qui ont déjà assimilé des équations barbares ou des notions étranges comme celle des « fonctions d’ondes ». Pour réparer cette injustice et permettre à tout le monde de goûter aux mystères de l’infiniment petit, voici l’un des plus mystérieux paradoxes, dépouillé de toute théorie quantique et de presque tout calcul (juste un petit cosinus pas méchant…).

Les mille et une nuits, version fatale
Bagdad, vers 950. Le sultan Schahriar un peu vexé de s’être laissé embobiner par les contes de la belle Sheherazade vous impose, ainsi qu’à tous les logiciens de la ville, l’épreuve dite de la « suprême coordination ».

Vous êtes enfermé dans une cellule avec un camarade de détention pendant 100 jours et 100 nuits (je vous fais la version courte). Chaque soir chacun de vous sortira de la cellule par une porte différente, donnant sur une cellule contiguë. Une fois seul, vous devrez piocher une carte au hasard dans un jeu composé uniquement de valets, de dames et de rois en nombres égaux. En fonction de la carte tirée vous avez le choix entre:
– regagner immédiatement votre cellule collective (choix A)
– dormir sur place et ne rentrer que le lendemain matin (choix B)

Une fois votre choix fait, vos geôliers comparent votre carte et votre décision avec celle de votre camarade d’infortune (qui a subi le même sort) et inscrivent tout ça sur le Grand Registre du sultan. La « suprême coordination » consiste à remplir les trois conditions suivantes:
Condition 1: chaque soir où vous avez pioché la même carte que votre camarade, vous avez fait le même choix que lui (A ou B peu importe);
Condition 2: les soirs où vos deux cartes se suivent (valet+dame ou dame+roi) vous avez fait le même choix que lui trois fois sur quatre;
Condition 3: les soirs où l’un a pioché un valet et l’autre un roi, vous avez fait le même choix que lui une fois sur quatre.

Si au bout de 100 nuits, on constate que vous avez rempli ces trois conditions, vous serez relâchés vous et votre collègue. Sinon, couic! C’est la mort.

Evidemment, vous avez tout loisir de vous concerter sur la stratégie à tenir avec votre malheureux partenaire. Mais une fois dans l’isoloir de la cellule voisine vous n’avez aucun moyen de savoir quelle carte il a pioché de son côté, ni quel choix il a fait et vos gardiens sont totalement incorruptibles. Comment faites-vous pour échapper à la mort?

Pas de panique, pensez-vous, il suffit de réfléchir un peu…

– La condition 1 vous impose d’avoir la même stratégie que votre partenaire. Puisque vous devez faire toujours le même choix quand vous piochez la même carte, il faut vous mettre d’accord ensemble chaque soir sur le choix correspondant à chaque carte. Par exemple si c’est un valet, vous convenez de faire le choix A (regagner votre cellule), si c’est une dame le choix B (découcher pour la nuit, c’est humain après tout), si c’est un roi le choix A. On notera cette stratégie [A,B,A];

Chaque soir vous devez donc convenir avec votre copain d’une des 8 stratégies suivantes:
[A,A,A]; [A,A,B]; [A,B,A]; [A,B,B];
[B,A,A]; [B,A,B]; [B,B,A]; [B,B,B]

– Par contre si vous tenez à la vie il vaudrait mieux que vous changiez de stratégie de temps en temps. Car si vous choisissez toujours la même stratégie, [A,B,A] par exemple, vous serez certes toujours en phase si vous tombez sur la même carte que votre partenaire, mais si vous piochez un valet (choix A) et lui une dame (choix B) vous ferez toujours des choix contraires, alors que la coordination suprême exige que vous fassiez le même choix trois fois sur quatre!

Le tableau suivant résume ce qui se passe dans chaque cas:

type de stratégies Proportion
de ce type de stratégie
Mêmes
cartes tirées
Cartes tirées:
valet/dame
Cartes tirées:
dame/roi
Cartes tirées:
valet / roi
type I
[A,A,A] ou [B,B,B]
a choix
identiques
choix
identiques
choix
identiques
choix
identiques
type II
[A,B,A] ou [B,A,B]
b choix
identiques
choix opposés choix opposés choix
identiques
type III
[A,A,B] ou [B,B,A]
c choix
identiques
choix
identiques
choix opposés choix opposés
type IV
[A,B,B] ou [B,A,A]
d choix
identiques
choix opposés choix
identiques
choix opposés

Pour respecter les conditions 2 et 3, vous avez donc intérêt à trouver le bon dosage de stratégies de type I (proportion a), de type II (proportion b), de type III (proportion c) et de type IV (proportion d), avec a+b+c+d=1 (1)

La condition 2 vous impose que chaque fois que l’un tire un valet et l’autre une dame, vous faites le même choix trois fois sur quatre.
Donc avec les notations du tableau, il faut que a+c=3/4 (2)
De même quand l’un tire une dame et l’autre un roi, la condition 2 exige que a+d =3/4 (3)

La condition 3 vous impose que si l’un tire un valet et l’autre un roi, vous faites des choix identiques une fois sur quatre, donc a+b=1/4 (4)

En additionnant (2) et (3), on trouve 2a +c+d= 3/2.
En soustrayant (1) et (4) on obtient c+d=3/4
Et en soustrayant ces deux équations, on trouve a=3/8
En remplaçant a par sa valeur dans (4), on trouve ainsi b=1/4-3/8=-1/8

Là y’a comme un p’tit problème parce que au cas où vous l’auriez oublié « b » c’est une proportion, donc un nombre positif en général…
Une sueur froide glisse le long de votre échine car vous comprenez maintenant que l’épreuve à laquelle le sultan vous a soumis est insoluble. Aucune stratégie ne permet de coordonner vos actions avec celle de votre codétenu dans les conditions qu’il vous a imposées: vous allez donc mourir!!!

Pourtant, cette énigme dont aucun cerveau ne peut venir à bout, n’importe quel photon (ce fameux « grain » de lumière) vous la résout, les doigts dans le nez si tant est que ce photon ait un nez et des doigts, ce qui est une hypothèse hardie, je vous l’accorde. Je m’explique.

Et la lumière fut
Evidemment, un photon ne pioche pas dans un jeu de cartes à jouer, alors il faut un peu adapter l’expérience: au lieu de cartes à jouer on utilise des polariseurs, vous savez comme ces filtres photographiques qui laissent passer la lumière dans une seule « direction » de polarisation. Prenez un rayon de lumière tout ce qu’il y a de plus banal et envoyez-le sur un filtre polariseur. Derrière ce filtre le champ électrique est orienté (filtré) dans la direction du filtre.

Si vous placez un second filtre faisant un angle α avec le premier filtre, l’onde ressort atténuée de ce second filtre. Si la trigonométrie ne vous fait pas trop peur, le facteur d’atténuation est le cosinus de α.

Son énergie (proportionnelle au carré de l’amplitude) est atténuée du carré de cette atténuation.
Si α vaut 0°, l’énergie lumineuse est conservée.
Si α vaut 30°, elle est diminuée d’un quart.
Si α vaut 60°, elle est diminuée des trois quarts.
Si α vaut 90°, aucune lumière ne passe par le second filtre.

Que se passe-t-il si on diminue l’intensité du rayon lumineux jusqu’à ce qu’il soit réduit à un photon émis de temps en temps? En faisant l’expérience, on se rend compte que l’énergie de chaque photon n’est pas diminuée au passage du filtre, mais en contrepartie c’est sa probabilité de passer ce filtre qui est diminuée (elle vaut cos²(α)). Jusque là tout va bien, les comportements des photons sont simples à comprendre.

C’est alors que les physiciens ont eu l’idée de faire passer aux photons l’épreuve de la « suprême coordination ». On sait fabriquer des paires de photons « jumeaux » (les physiciens diraient plutôt « intriqués ») ayant la même polarisation et qui s’éjectent sitôt créés, chacun dans une direction opposée. On a donc placé dans chacune de ces deux directions des polariseurs dont les angles varient à chaque instant.

Appelons α la différence entre les angles des deux polariseurs à gauche et à droite: puisque les deux photons ont la même polarisation, si un des deux photons passe un polariseur, l’autre passera son polariseur avec la probabilité cos²(α). Et si le premier ne le passe pas, la probabilité que le second ne passe pas non plus est également de cos²(α)*.

Dans l’expérience réalisé par Alain Aspect en 1980, le polariseur de gauche ne peut prendre que deux valeurs 0 ou 30°, et celui de droite 30° ou 60°. On peut facilement faire l’équivalence entre ces valeurs et nos cartes: l’angle 0° correspond au valet, l’angle 30° à la dame et l’angle 60° au roi:

Angle des polariseurs gauche/droite
Différence entre les deux angles (α) Situation équivalente
avec le jeu de cartes
Probabilité que les photons aient le même comportement (absorption ou passage)
0° / 30°
30°
valet + dame
cos²(30°) = 3/4
0° / 60°
60°
valet + roi
cos²(60°) = 1/4
30° / 30°

valet+valet (ou 2 cartes identiques)
cos²(0)= 1
30° / 60°
30°
dame + roi
cos²(30°) = 3/4

Regardez: les paires de photons intriqués réussissent parfaitement l’épreuve de « suprême coordination »!
– Chaque fois qu’ils tirent la même carte (α=0) ils ont toujours le même comportement.
– S’ils tirent deux cartes successives (α=30°), ils sont coordonnés 3 fois sur 4.
– Si l’un tire un valet, l’autre un roi (α=60°), ils sont coordonnés 1 fois sur 4.
C’est pas beau, ça?

Trop forts ces photons intriqués
Nos petits photons arrivent à faire ce qu’aucun humanoïde ne pourrait jamais faire! Et ils ne trichent pas: on a pris soin d’éloigner suffisamment les polariseurs l’un de l’autre pour qu’aucun signal n’ait le temps matériel de passer de l’un à l’autre pour « avertir » le photon de ce qui se passe pour son camarade à l’autre bout de la salle.

Comment font-ils? A vrai dire on n’en sait rien. On peut imaginer que chaque photon soit en permanence informé de ce que l’autre fait au même instant, sans qu’on sache comment. Sauf que cela suppose que cette information voyage plus vite que la lumière, ce qui n’est pas très cohérent avec la théorie de la relativité. Faire cette hypothèse revient à imaginer qu’un effet puisse précéder sa cause: pas très orthodoxe, comme explication…

Vous voyez ce qu’il y a de révolutionnaire dans cette expérience: d’habitude l’état d’une particule dépend des conditions locales de son environnement, c’est-à-dire des influences qui lui arrivent à la vitesse de la lumière (ou moins vite), comme les interactions électromagnétiques par exemple. Or cette expérience-ci viole sans qu’on sache comment cette idée de localité sur laquelle s’appuie toute la physique. Voilà qui est plus que troublant!

Et n’allez pas croire que seuls les photons peuvent faire ce genre de prouesse, on peut refaire une expérience équivalente avec un électron, un proton… Elémentaires mais fortiches, nos particules!

*Si le premier photon ne passe pas son polariseur, le second photon passera le sien selon la probabilité cos²(α+90°)=sin²α. Donc le second photon ne passera pas, avec la probabilité 1-sin²α=cos²α.

Sources:
Quantum non-locality and relativity (Tim Maudlin, 2002) dont j’ai adapté l’illustration sous forme de jeu de cartes.
A lire aussi les billets de Tom Roud sur le sujet, où les chats sont à l’honneur.

Billets connexes:
La relativité lumineuse, même sans la lumière

4 comments for “Photon ou vraie prise de tête?

  1. Tom Roud
    21/08/2009 at 15:20

    >Hmm, j'ai complètement oublié, mais je me demande si ton petit calcul n'est pas un espèce d'équivalent des fameuses inégalités de Bell ? :http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9s_de_Bell

  2. Xochipilli
    21/08/2009 at 21:11

    >@Tom: tout juste! Il suffit d'écrire que les proportions des différentes stratégies (notées "a" et "b" dans le billet) doivent rester positives.Cette contrainte se traduit par l'inégalité γ>|2β-1|en notant β la probabilité associée à un même comportement des photons pour α=30° (3/4 dans l'expérience d'Aspect) et γ celle associée à α=60° (1/4).On retrouve ainsi un exemple des fameuses (…enfin fameuses pour les initiés) inégalités découvertes par Bell dans les années 1960. Inégalités qu'il avait démontrées être inviolables à moins de remettre en cause les principes de la relativité ou ceux de la "localité".Finalement c'est simple la mécanique quantique! (J'entends que ça tousse un peu dans le fond de la salle)

  3. Sagittarius
    27/03/2016 at 16:41

    Très bonne présentation, simple, du caractère paradoxal du comportement des photons intriqués.
    Merci à vous.

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