Parallèles mais presque

> (image de techno-science.net)
Gasp! En feuilletant les cours de mon numbertwo je réalise qu’une bonne partie de ce qu’on nous apprend en géométrie en CM2 est à revoir depuis que l’on sait que la la Terre est ronde!

– Une droite est le plus court chemin entre deux points prolongé de part et d’autre à l’infini (NB: ça m’énervait de pas trouver de démonstration simple alors je m’y suis essayé en fin de billet, à vos stylos rouges!) A la surface de la Terre, une droite est donc un grand cercle passant par ces deux points: « grand » cercle car il a le même centre que la Terre et donc de même périmètre que celle-ci. Arf, donc une droite sur Terre n’est jamais infinie!

– Deux droites parallèles ne se coupent jamais? Ben, faut voir à voir, puisque tous nos grands cercles se coupent toujours et en deux points (situés aux antipodes l’un de l’autre). En fait des droites parallèles ça n’existe pas sur Terre. De même, deux droites non parallèles ne se coupent pas en un seul point, mais en deux (situés aux antipodes l’un de l’autre)…

La somme des angles d’un triangle fait 180°? Que nenni: si l’on prend par exemple un triangle avec pour sommet le pôle Nord, et deux points situés aux antipodes de l’équateur, regardez bien ça fait 180°+90°+90°=360°! Adios du coup le théorème de Pythagore, puisqu’on peut imaginer un triangle équilatéral et avec des angles droits partout (deux extrémités sur l’équateur à 90° d’écart de longitude et une extrémité au pôle)!

La circonférence d’un cercle sur Terre fait 2πr? Bah faites le calcul, moi je trouve plutôt 2πR cosθ, θ étant la latitude du cercle en question (en le supposant parallèle à l’équateur).

Toutes ces belles certitudes envolées, ça donne le vertige.
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Pour démontrer que le plus court chemin entre deux points d’une sphère est la portion du grand cercle qui les relie, prenons… deux points qu’on appellera A et B pour pas être trop original quand même sur une spère de rayon 1. Pivotons la sphère une première fois pour que les points soient sur la même latitude, puis une seconde fois pour qu’ils soient situés de part et d’autre symétriquement par rapport au pôle de la sphère. Nos deux points sont maintenant situés sur un même méridien et leur latitude est égale, c’est plus joli.

On postulera que la courbe recherchée est plane (je suis preneur de justification!). Comme notre figure est symétrique par rapport à l’axe Nord-Sud (0z), son plan-support doit l’être aussi. Il n’y a donc que deux « candidats »: le plan horizontal portant la parallèle joignant A et B (c’est l’arc C1 en bleu sur la figure) et le plan vertical portant le méridien passant par A et B (arc C2, en rouge). Comparons ces deux arcs :

C1 est un demi-cercle (puisque A et B sont sur le même méridien) et si θ est l’angle entre Oz et OA, le rayon du cercle support de C1 vaut sinθ. La longueur de l’arc C1 est donc π sinθ.

C2 est un arc de cercle passant par le pôle donc sa longueur vaut 2θ.

Comme θ prend ses valeurs entre 0 et π/2, on vérifie que sur cet intervalle < π sinθ: le verdict est sans appel, c’est le méridien (donc l’arc C2 du grand cercle) qui est le plus court chemin entre A et B.

Ce n’est pas très intuitif car on est habitué aux projections cylindriques de la Terre qui représentent les parallèles comme des lignes droites alors que les grands cercles sont projetées comme des courbes. Deux étudiants sur ce site ont démontré comment calculer la différence entre les deux trajets : entre Poitiers et Seattle il y a 8000km de distance à vol d’avion, mais 1000 de plus si l’on suit un parallèle!


6 comments for “Parallèles mais presque

  1. Zythom
    08/09/2008 at 19:15

    >Sauf erreur de ma part, il me semble que vous étudiez ici les propriétés d’une géométrie non euclidienne particulière: la géométrie elliptique de Riemann.Dans les géométries non euclidiennes, le cinquième postulat d’Euclide est levé (« par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule »).Dans la géométrie de Riemann, « par un point extérieur à une droite on ne peut mener aucune parallèle ».La droite y est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface, mais dans ce modèle, les points sont les paires de points antipodes d’une sphère, et les droites sont les grands cercles (c’est-à-dire dire les cercles ayant le même centre que la sphère).Source wikipedia.

  2. Xochipilli
    08/09/2008 at 19:36

    >Je crois bien que c’est ça: rendons donc à Riemann… Par contre pourquoi un point serait-il défini par une paire de points aux antipodes?

  3. Zythom
    09/09/2008 at 19:04

    >Citation: « Cette géométrie-là n’est pas une géométrie d’incidence puisque par deux points distincts de la sphère (deux points diamétralement opposés) il peut passer une infinité de droites. Riemann imagina alors d’identifier deux points diamétralement opposés : la géométrie se fait sur une demi-sphère, privée de la moitié de son équateur-section. Sous ces conditions, on vérifie aisément que par deux points distincts passe une droite et une seule. »Extrait du site db-maths.nuxit.net que j’ai trouvé passionnant (grâce à vous).

  4. Anonymous
    21/09/2008 at 18:56

    >encore tu suppose que la terre est ronde sachant qu’elle est un peut écrasée par les 2 pôles et qu’en plus l’hémisphère sud est plus gros cela change encore plusJérôme ISOREisore@free.fr

  5. gsz
    25/09/2009 at 14:31

    >Bonjour,En vrac tout un tas de questions qui me perturbent depuis longtemps, en lien avec cet article, et que je livre à la sagacité collective :- les poteaux d'une ligne de télégraphe traversant les Etas-Unis (par exemple,et si vous lisez beaucoup Lucky Luke…) sont-ils parallèles, ou dit autrement, la distance mesurée avec une règle horizontale entre deux poteaux est-elle la même quel que soit la hauteur de mesure ?- les murs d'une construction de grande longueur tiennent-ils compte de la courbure de la terre ?- comment peut-on dire que deux méridiens sont parallèles puisqu'on dit que les parallèles se croisent ???- une table est-elle plate ou courbée de manière identique à la surface terrestre ?- lorsqu'on construit des routes, en supposant qu'on cherche parfois à minimiser les distacnes, le fait-on en choisissant le chemin le plus court sur la sphère ou sur la carte ?

  6. Xochipilli
    28/09/2009 at 09:57

    >@gsz: ouh la la! Que de bonnes questions!A mon sens, on ne prend en compte la courbure de la Terre que pour concocter les trajets des lignes aériennes ou maritimes. Dès qu'on construit quelque chose de physique, on utilise comme définition pratique de la ligne droite la trajectoire de la lumière (un petit faisceau laser par exemple). Or la lumière se propage selon une trajectoire "presque" euclidienne – à la déviation par la gravité près- et pas du tout en suivant la courbure de la Terre comme le ferait une courbe géodésique.Les constructions humaines ne sont donc pas de "vraies" géodésiques, mais quasiment des droites euclidiennes. C'est pour ça qu'elles peuvent ne jamais se croiser… Je sais pas si c'est plus clair 🙂

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