Notre sens du logarithme

1,2,3 nous irons au bois
C’est réconfortant de pouvoir égrener les quantités les unes après les autres avec la régularité d’un métronome. Qu’il s’agisse du nombre de champignons que l’on cueille, des kilos de châtaignes que l’on ramasse ou des kilomètres que l’on parcourt, on a toujours à disposition une échelle de mesure très simple, dont les barreaux sont tous espacés d’un même intervalle. On s’est souvent battu historiquement pour imposer son unité plutôt que celle du voisin, mais quel que soit l’étalon de mesure –mètre, toise ou pied et leurs dérivés- tout le monde l’a toujours utilisé de la même manière. Pour jauger une dimension, on compte simplement le nombre d’unités-étalons que l’objet à mesurer peut contenir. Quoi de plus plus naturel en somme que cette manière « linéaire » de mesurer le monde qui nous entoure en additionnant des unités-étalons? Et pourtant…

Do, ré, mi, cueillir des cerises

Si vous jouez une corde de guitare en la plaquant en son milieu, cette moitié de corde donne la même note -décalée d’une octave- que si vous grattez la corde entière à vide. Et si vous divisez encore par deux sa longueur, vous décalez le son encore d’une octave. La hauteur des notes se décale donc d’un intervalle constant (une octave) chaque fois qu’on divise la longueur de la corde par deux: pas très cohérent avec ce qu’on vient de raconter sur les mesures-étalons qui s’additionnent…

On peut voir les choses d’une autre manière. Un Do et un Ré consécutifs nous semblent séparés par le même intervalle de hauteur (ce qu’on appelle un ton) quel que soit l’octave dans laquelle ils sont joués. Pourtant si l’on mesure leurs fréquences, on s’aperçoit que l’intervalle qui les sépare n’est pas du tout constant: il double à chaque octave (données tirées du site ordiecole.com):

NOTE

Octave 1

Octave 2

Octave 3

Octave 4

Fréquence du Do
65Hz 131Hz 262Hz 523Hz
Fréquence du Ré
73Hz
147Hz
294Hz
587Hz
Différence entre le Do et le Ré 8Hz
16Hz
32Hz
64Hz

Bien que toutes séparées d’un ton, les notes de la gamme tonale (Do, Ré, Mi, Fa#, Sol# et La#) ne forment pas une échelle aux barreaux régulièrement espacés, mais une échelle bizarre dont les barreaux s’écartent de plus en plus à mesure qu’on monte en hauteur.

L’octave étant divisé en douze demi-tons, pour passer d’une note au demi-ton suivant, il faut multiplier la fréquence de la note par la racine douzième de 2 (environ 1.0595). Au douzième demi-ton, on a multiplié la fréquence par deux et nous voilà revenu à la note initiale, une octave plus haut. Autrement dit, nous sommes sensibles non pas à la différence absolue entre les fréquences de deux notes de musique, mais à leur rapport. En maths, la fonction qui convertit un rapport de deux nombres en une différence s’appelle un logarithme (noté Log avec Log(a/b)=Log(a)-Log(b) ). Notre perception musicale est donc logarithmique!

Pour savoir à quelle fonction logarithmique on a affaire, il suffit de connaître le rapport qui augmente le logarithme d’une unité.
Dans le cas de la musique, l’octave correspond à un doublement de fréquence. Notre échelle de perception musicale suit donc un logarithme en base 2. Regardez, ça marche:

 

NOTE

Octave 1

Octave 2

Octave 3

Octave 4

Fréquence du Do
65Hz 131Hz 262Hz 523Hz
Log2(fréquence)
6,0
7,0
8.0
9.0

boum, boum,BOUM dans mon panier neuf
Notre oreille est sensible de la même manière à l’intensité des bruits. Dans une chorale, on perçoit la même augmentation de volume sonore quand on passe de cinq à dix chanteurs que quand on passe de dix à vingt, ou de vingt à quarante chanteurs. C’est la raison pour laquelle la mesure du niveau sonore suit elle aussi une échelle logarithmique (les décibels, ou dB). La puissance acoustique de la source (qui correspond en gros au nombre de chanteurs dans la chorale) s’exprime en Watts:

Puissance (W) Niveau dB Exemple
100 000 000 200 Fusée Saturn VGros porteur quadriréacteurs
1 000 000 180
10 000 160
100 140 Grand orchestre
1 120 Marteau piqueur
0.01 100 Cri
0.000 1 80
0.000 001 60 Conversation


10,11,12 elles seront toutes rouges

Notre ouïe n’est pas le seul sens rebelle à la simplicité de l’échelle arithmétique, loin s’en faut. La loi de Weber-Fechner découverte à la fin du XIXe (et sa version raffinée sous le nom de Loi de Steven) veut que « toute sensation varie comme le logarithme de l’excitation ». Ce qui exprime simplement par le fait que l’on peut facilement faire la différence entre un poids de 100g et un poids de 200g, mais qu’il est très difficile de différencier 100kg et 100,1kg. En d’autres termes, notre échelle de sensation de poids est calée sur l’accroissement relatif d’un stimulus (ici un poids) et non pas sur sa variation absolue

Ce principe général a été vérifié dans quantité de domaines. La sensibilité de notre œil varie par exemple avec le logarithme de la luminosité. C’est la raison pour laquelle, depuis l’Antiquité, on mesure la luminosité des étoiles sur une échelle logarithmique. Celle d’Hipparque allait de 1 (la plus lumineuse) à 6 (la moins lumineuse), cinq unités correspondant à une diminution d’un facteur 100 de la luminosité.
Nos yeux ne sont sensibles qu’au rapport entre ombres et lumière. Et heureusement! Car les rapports de luminosité d’une image ne dépendent pas trop des conditions de luminosité dans lesquelles on la regarde. Si notre perception des contrastes provenait des différences absolues de luminosité, nos impressions visuelles seraient chamboulées chaque fois que l’on modifie légèrement les conditions de luminosité. Un truc à devenir dingue…

13,14,15 nous n’en renverserons pas
Notre sensibilité aux tremblements de Terre suit également une loi logarithmique: dans la fameuse échelle de Richter un accroissement d’une unité de magnitude correspond à une multiplication par 30 de l’énergie du séisme et par 10 de l’amplitude de son mouvement. Idem pour la sensibilité à la pression subie ou à la sensation de vitesse. Voilà ce que donnerait le diagramme des perceptions physiques (en ordonnées avec une échelle logarithmique de 1 à 100) en fonction des stimulus physiques (en abscisses sur une échelle logarithmique de 10 à 107):
Curves for various modalities

(source: ici)

Il n’y a guère que notre perception de la souffrance qui ne suive pas très bien cette loi logarithmique, au grand dam de Jack Bauer! Quand il se fait torturer par d’affreux méchants, sa douleur augmente quasi proportionnellement aux sévices qu’on lui inflige.

On peut même se demander si notre perception des durées ne correspond pas elle aussi à une échelle logarithmique -ce qui expliquerait pourquoi on a le sentiment que le temps présent s’écoule plus vite que dans le passé et que jamais le temps ne s’est écoulé aussi vite qu’en ce moment.

Pour en revenir aux nombres
Après tout ça, on n’est pas trop surpris d’apprendre que notre sens « naturel » des nombres suit lui aussi une loi logarithmique, comme on l’a déjà raconté dans ce billet. Si l’on demande à des indiens amazoniens Mundurucus -qui n’ont pas développé de système arithmétique- de déterminer quelle est la quantité intermédiaire entre un objet et 9 objets, ils choisissent la quantité…3.
La réponse tombe maintenant sous le sens: 1 x 3 = 3 et 3 x 3 = 9. 3 est donc la moyenne géométrique entre 1 et 9. Autrement dit, Log(3)=[Log(9)+Log(1)]/2

Il semble bien que les enfants naissent naturellement dotés du même système logarithmique pour appréhender les quantités. Ils sont sensibles aux proportions des nombres et non pas à leur différence. Le système arithmétique qui met au même niveau la différence entre 1 et 2 que la différence entre 21 et 22 est donc très contre-intuitif. Pas étonnant qu’ils mettent du temps à savoir compter: il leur faut d’abord désapprendre à compter logarithmiquement. Peut-être qu’on devrait commencer par leur apprendre la multiplication?

Une histoire d’échelles en perspective
L’échelle arithmétique linéaire qui nous semblait si naturelle s’avère finalement être une construction très artificielle. Les échelles logarithmiques sur lesquelles nos sens sont réglés nous rendent davantage sensibles aux proportions qu’aux différences absolues entre les grandeurs physiques. Regardez le diagramme ci-dessus: la représentation logarithmique est certes moins précise à grande échelle, mais en contrepartie elle nous permet d’appréhender par la pensée un spectre de dimensions bien plus étendu qu’une échelle arithmétique.
Pas besoin de diagramme pour comprendre pourquoi: imaginez une échelle immense. Pas une échelle imaginaire, une vraie échelle avec des barreaux en bois ou en métal. Si vous la regardez bien en face, de sorte que tous les barreaux soient équidistants, vous avez devant vous une échelle arithmétique classique. Et vous remarquez que votre champ de vision n’embrasse qu’un tout petit morceau de l’échelle.

(source Flickr)

Pour pouvoir visualiser toute la longueur de l’échelle, il faut la regarder d’en bas:

(source: glitchbucket.com)

Plus les barreaux sont loin, plus ils semblent rapprochés: grâce à la perspective, notre échelle est physiquement devenue une « échelle logarithmique » qui nous permet de voir beaucoup plus loin. Le logarithme n’est finalement que le nom mathématique donné à la perspective, qui met tous les ordres de grandeur à notre portée, de l’infiniment petit à l’infiniment grand.

Sources:
Le site de l’Université d’Uppsala.
L’article de Wikipedia (plus complet en anglais qu’en français).

Billets connexes:
Les neurones des nombres qui détaille notre sens inné des quantités.

8 comments for “Notre sens du logarithme

  1. gsz
    11/12/2009 at 13:56

    >Toujours aussi passionnant.Alors c'est pour ça que ma fille de 2 ans s'obstine à compter un, deux, quatre ???

  2. W.
    11/12/2009 at 14:51

    >@gsz1, 2, 4 ? Votre fille compte en puissance de deux. Vous en ferez une informaticienne.Essayez le binaire avant de lui apprendre l'addition. On sait jamais.

  3. Xochipilli
    11/12/2009 at 14:58

    >@gsz: Pas facile de compter. Il faut désigner chaque objet de l'ensemble à dénombrer; sans en oublier ni en compter plusieurs fois;En parallèle, il faut associer pour chacun un élément de la suite 1,2,3,4… dans cet ordre, sans en oublier ni en répéter;Et enfin retenir uniquement le dernier nombre énoncé, qui sera le cardinal de l'ensemble à dénombrer.Bref, c'est pas de la tarte pour un enfant de 2 ans 😉

  4. Alzimmer
    11/12/2009 at 15:38

    >J'adore tes articles ils sont vraiment intéressants. Bien joué !

  5. @gor
    13/12/2009 at 19:19

    >Bizarre, j'ai récemment eu un cours sur le son et l'échelle des décibels relative aux éléments "courant" (une fusée j'en ai encore jamais vue/entendue dans mon jardin…) était pas du tout la même!Dans le livre de physique, elle va de 0 à 120 dB tandis que la votre (ou celle de wikipedia) va jusqu'à 200 dB, ce qui absolument énorme comme différence (justement à cause du log).J'avais aussi pour référence l'échelle de wikipedia mais laquelle est la bonne? Je sais que la limite légale dans les discothèques est de 109dB.

  6. Xochipilli
    14/12/2009 at 08:17

    >@Alzimmer: merci pour tes encouragements, c'est sympa!@gor: j'ai l'impression que 120 dB est l'échelle des bruits supportables pour l'oreille humaine. Au-delà, ça devient forcément plus anecdotique. J'ai l'impression pourtant qu'il y a consensus autour du bruit d'une turbine d'avion à réaction entre 140 et 150 dB que ce soit sur le net français (ici, ou ), ou sur le net anglo-saxon (ici ou sur Wikipedia).

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