Les meilleures recettes de Kaprekar

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Tour de passe-passe numérique:
Prenez un nombre quelconque de quatre chiffres, et ne me le dites pas.
Réécrivez-le en ordonnant ses chiffres du plus grand au plus petit (sans oublier les éventuels 0)
Ensuite réécrivez le mais cette fois du plus petit au plus grand.
Soustrayez les deux nombres (pour les non-comprenants: si vous avez choisi au départ 4931, vous faites 9431-1349=8082)
Prenez le résultat (8082 dans mon exemple) et recommencez cette petite manipulation deux ou trois fois.

Laissez-moi réfléchir: je devine que vous obtenez soit 0, soit… 6174!
Magique, non?

Avec 4931 au départ, on obtient:
9431-1349=8082
8820 – 0288 = 8532
8532 – 2358 =
6174. Tan tan!


En procédant de la sorte avec un nombre à trois chiffres on tombe toujours sur 495 ou sur 0
Par exemple en partant de 234:

432 – 234 = 198
981 – 189 = 792
972 – 279 = 693
963 – 369 = 594
954 – 459 =
495
954 – 459 =
495


Avec des nombres à deux chiffres, on retombe soit sur 0, soit sur un cycle sans fin 63/27/45/09/81/63/27 etc.
Pour 48, par exemple:

84-48=36
63-36=27
72-27=
45
54-45=
09
90-09=
81
81-18=
63
63-36=
27 etc…


109, le générateur de toutes les suites de Fibonacci

C’est Kaprekar, un mathématicien indien génial qui a découvert ce drôle d’algorithme et la constante 6174 porte maintenant son nom. Simple enseignant, Kaprekar était passionné par les nombres et a découvert sans ordinateur ni calculatrice des tas de trucs bizarres. Comme elles étaient d’un accès facile, ses trouvailles mathématiques ont fait les délices des revues de mathématiques dans la rubrique « récréations » (où je l’ai d’ailleurs découvert).

Sa trouvaille la plus incroyable reste l’étonnante relation entre le nombre 109 et les suites de Fibonacci. Si vous avez la patience de calculer 1/109, vous obtiendrez un nombre décimal ayant une période de 108 chiffres:
1/109 =0.[009174311926605504587155963302752293577981651376146788990825688073394495412844036697247706422018348623853211][009174311...

Ecrivez cette suite de 108 chiffres, à l’envers en commençant par la fin (112358326 etc): vous remarquez que chaque terme est la somme des deux précédents, en posant les retenues:
1+1=2, 2+1=3, 3+2 = 5, 5+8= 13 (je pose 3 je retiens 1), 3+8=11+1 de retenue=12 (je pose 2 je retiens 1) etc.

C’est ce qu’on appelle une suite de Fibonacci avec retenue, où chaque terme est la somme des deux précédents (plus la retenue éventuelle).

Définies au départ pour dénombrer la croissance des populations de lapins, les suites de Fibonacci ont des propriétés étonnantes, comme par par exemple le rapport entre deux termes successifs qui tend vers le nombre d’or. On retrouve ces suites de Fibonacci partout dans la nature, que ce soit le nombre de pétales des fleurs (le plus souvent 8, 13, 21, 34 ou 55) ou le nombre de spirales des ananas. J’y reviendrai bientôt, car c’est fascinant.


1/109 s’écrit donc comme l’envers d’une suite de Fibonacci (avec retenue). Mais ce qu’il y a de plus fou c’est que inversement 1/109 contient TOUTES les suites de Fibonacci possibles, quelque soient leurs deux premiers chiffres de départ!

En effet, n’importe quelle suite de Fibonacci (avec retenue) boucle toujours sur elle-même au bout de 108 itérations et du coup correspondra au développement décimal de 1/109, retourné et décalé d’un certain rang.

Par exemple si on commence par 6 et 7 on obtient 6, 7, 3, 1, 5, 6, 1, 8, 9, 7, 7, 5, 3… que l’on retrouve « retournée » dans la partie surlignée en jaune du développement décimal de 1/109 (voir plus haut).
Si vous commencez par 7 et 8, vous obtenez 7, 8, 5, 4, 0, 5, 5, 0, 6, 6 (surligné en vert dans les décimales de 1/109)


Kaprekar a ainsi démasqué le 109, qui sous une allure débonnaire, coincé entre les ennuyeux 108 et 110, cache un puissant « générateur » de suites de Fibonacci. Je trouve ça bluffant…

Source: Tangente HS n°33 Mai 2008

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