L’entropie des trous noirs

Source ici

Les trous noirs sont des objets célestes fascinants, qui chauffent quand ils perdent de l’énergie et dont il suffit de connaître la surface pour tout savoir d’eux. Mais comme la plupart des explications ressemble à quelque chose comme « le trou noir est une distorsion extrême de l’espace-temps et implique un effondrement gravitationnel qui émet des ondes de gravité », on est vite refroidi lorsqu’on n’a pas son doctorat de physique théorique en poche. J’ai heureusement découvert les explications lumineuses de Leonard Susskind, passé grand maître dans l’art de vulgariser. Si vous avez à peu près suivi mes explications sur l’entropie (ici), vous devriez enfin comprendre pourquoi les trous noirs sont de fascinants objets d’étude…

1)   La vitesse de libération

Si vous lancez une balle en l’air, elle vous retombera sur le nez tôt ou tard. A moins que vous ne vous appeliez Superman et que vous la lanciez suffisamment fort pour qu’elle échappe à l’attraction terrestre. Quelle est la vitesse minimale v qu’elle doit avoir (qu’on appelle vitesse de libération)? Pour la calculer, il suffit de calculer son énergie: à tout moment, son énergie cinétique vaut Ec=½ mv2 (m étant sa masse) et son énergie potentielle est Ep=-mMG/d  (M étant la masse de la Terre, d la distance au centre de la Terre et G la constante gravitationnelle). Le signe moins vient du fait que l’énergie potentielle est nulle quand on est très loin de la Terre et augmente quand on s’en rapproche.
L’énergie totale vaut donc  E= ½ mv2-mMG/d

La vitesse de libération correspond à la situation où la balle a juste assez d’énergie pour aller à l’infini, avec une vitesse résiduelle nulle. A l’infini son énergie potentielle est nulle et son énergie cinétique aussi. Son énergie totale est donc nulle. Comme elle se conserve tout au long de la trajectoire, on peut écrire qu’au moment du lancer ½ mv2 =mMG/R (R étant le rayon de la Terre). La vitesse de libération vaut ainsi et elle ne dépend pas de la masse de la balle.

Le calcul donne environ 11km/s (40 000 km/h): il est costaud Superman, quand même…

Une autre façon de voir la vitesse de libération. Source ici

2)   Le trou noir de Schwarzschild

Maintenant qu’on sait calculer la vitesse de libération d’un astre, quittons la Terre et baladons-nous dans l’espace. Le calcul précédent est valable pour tout objet céleste.

Si l’astre concentre une masse gigantesque (M très grand) dans un volume très petit (R minuscule), rien n’empêche théoriquement d’avoir affaire à une quantité supérieure à la vitesse de la lumière c: Il suffit que sa masse tienne dans un rayon inférieur à R=2MG/c2

BlackHole Jokes

Une particule à la surface d’un tel monstre céleste devrait avoir une vitesse supérieure à la lumière pour vaincre son attraction gravitationnelle. Autant dire que rien, pas même la lumière, n’échappe à son emprise une fois posé dessus. C’est la raison pour laquelle notre modèle très simple s’appelle un trou noir de Shwarzschild.

La formule qui relie le rayon à la masse est un peu magique parce qu’on l’obtient avec des connaissances de lycéen et qu’elle recèle des tas de propriétés fascinantes…

3) Rayon, énergie et température

R est appelé l’horizon du trou noir, c’est-à-dire la distance en deçà de laquelle un objet est définitivement absorbé dans le trou noir et ne pourra plus s’en échapper. Première caractéristique: l’horizon d’un trou noir est directement proportionnel à sa masse. La constante de proportionnalité, 2G/c2, est de l’ordre de 10-27, un nombre riquiqui! Pour que le soleil (1030kg) devienne un trou noir, il faudrait que son rayon soit inférieur à 3km (au lieu des 700 000 km actuels). Et un trou noir ayant la masse de la Terre (1025kg) aurait l’ordre de grandeur du centimètre! Un trou noir est donc vraiment super dense…

Grâce à la fameuse équation E=Mc2, qui exprime l’équivalence entre masse et énergie, on peut calculer l’énergie d’un trou noir, en négligeant toutes les autres formes d’énergie possibles telles que rotation, charge électrique etc. Mais après tout on n’en est plus à une approximation près et en injectant la formule R=2MG/c2 et en mélangeant, on découvre une seconde propriété intéressante: l’énergie du trou noir est directement proportionnelle à son rayon: E=Rc4/2G. Plus un trou noir est grand, plus il a d’énergie.

On peut calculer la température d’un trou noir, mais c’est un peu plus sioux. Par définition, la température d’un corps se mesure à la quantité d’énergie qu’il faut lui fournir pour augmenter son entropie d’une unité (T est proportionnel à dE/dS, donc à dE pour dS=1 unité). Or je vous ai expliqué (dans ce billet) que l’entropie mesure une quantité d’informations. L’augmenter d’une unité c’est donc ajouter un bit d’informations au système. Comme on n’a pas de bit sous la main (ouais, bon je vous laisse ricaner bêtement), on ajoute la particule la plus simple qu’on puisse trouver: un photon. Le problème c’est que l’énergie d’un photon dépend de sa longueur d’onde. Quelle longueur d’onde faut-il choisir pour que l’ajout du photon apporte le moins d’information possible? Un peu de physique va nous mettre sur la voie:

  • si la longueur d’onde du photon est très petite par rapport au rayon R du trou noir, on pourra savoir exactement où a atterri notre photon, et cette information vaut plus qu’un bit…
  • si sa longueur d’onde est trop grande par rapport à R, le photon risque de ne pas entrer dans le corps noir et on n’est pas sûr d’avoir ajouté un bit d’information.

Conclusion: il faut que notre photon-bit ait une longueur d’onde de l’ordre de R. C’est un raisonnement un peu “avec les mains” mais qui tient la route. L’énergie d’un tel photon vaut dE=hc/R et -si vous avez suivi le raisonnement- cette énergie mesure la température du trou noir. Autant vous dire qu’il y fait vraiment froid: la température d’un trou noir ayant la masse du soleil (un million de fois plus petit que celui qui est au centre de notre galaxie) est de l’ordre du millionième de Kelvin. A côté, le reste de l’univers est torride avec ses 2,7K!

L’impossible équilibre thermique

A bien y regarder, la formule T~1/R qui exprime la température du trou noir est très surprenante. Elle prédit que sa température est inversement proportionnelle à son énergie (puisque l’énergie du trou noir est proportionnelle à son rayon). D’habitude plus un corps accumule de l’énergie, plus sa température augmente: là c’est exactement l’inverse: plus notre trou noir est massif/énergétique/grand, plus il est froid. Un peu comme les étoiles qui lorsqu’elles ont épuisé leur carburant d’hydrogène se contractent sur elles-mêmes et voient leur température augmenter sous l’effet des réactions nucléaires.

Cette bizarrerie a une conséquence étrange: un trou noir ne peut jamais être en équilibre thermique avec son environnement. Imaginez en effet qu’il soit à la même température que le reste du monde. L’équilibre thermique c’est une affaire de statistiques: il y a autant de particules qui entrent et qui sortent du trou noir à chaque instant. Vous me direz qu’aucune particule n’est censé en sortir. C’est sans doute vrai en physique classique, mais en mécanique quantique cet événement n’est statistiquement pas impossible. Supposez donc qu’une particule (un photon par exemple) en sorte par effet tunnel. Le trou noir perd un peu d’énergie donc sa température augmente un chouÏa. Comme il est devenu plus chaud que son environnement, il a tendance à rétrocéder de l’énergie à son environnement, ce qui accroît encore sa température. Par ce phénomène d’emballement le trou noir s’échauffe de plus en plus jusqu’à son évaporation complète.

A l’inverse, si le trou noir en équilibre thermique absorbe une particule au lieu d’en céder une, il grossit, donc il refroidit ce qui attire à lui de l’énergie, qui le fait grossir donc refroidir etc. Cette fois le trou noir se fait vorace glacial et finit par engloutir tout son environnement. Dans les deux cas, le trou noir ne reste jamais à température ambiante: soit il disparaît, soit il absorbe tout ce qui l’entoure…

Le principe holographique

Continuons un peu notre exploration de ce modèle super simple qu’est le trou noir de Shwarzschild et intéressons nous à sa surface. Ou plus exactement à la surface de son horizon. La force gravitationnelle ne dépendant que de la distance au centre de gravité du trou noir, cette surface est l’enveloppe d’une sphère parfaite d’aire A=4πR2.

Puisqu’on connaît à la fois sa température et son aire, on peut calculer la luminosité que rayonne un trou noir (c’est la loi de Stephan Bolzman): L~AT4. En remplaçant A et T par leur expression en fonction de R, on trouve une luminosité proportionnelle à 1/R2. Encore une drôle de propriété: plus le trou noir est massif, moins il est visible malgré sa taille de plus en plus imposante! Lorsqu’il s’évapore, sa taille se réduit, il devient de plus en plus lumineux. Comme la luminosité représente la quantité d’énergie rayonnée thermiquement, l’évaporation accélère (proportionnellement à 1/R2) jusqu’à l’explosion finale du trou noir.

On a vu qu’ajouter un bit d’information au trou noir augmente sa masse de dM=dE/c2 =h/Rc. Son rayon s’accroît alors de dR=2hG/Rc3 et l’aire de dA = 8πRdR = 16πhG/c3 qui est une constante. Chaque bit d’information contribue ainsi de façon identique à l’accroissement de la surface du trou noir, comme des pixels de taille fixes qui s’ajouteraient pour agrandir une image. Comme l’entropie n’est autre que le nombre de bits qu’il contient, elle est proportionnelle à l’aire totale. Plus précisément on trouve que S~c3A/hG. h étant très petit, l’entropie d’un trou noir est immense. D’habitude la constante de Planck apparaît au numérateur des formules car sa très petite valeur explique que les effets quantiques sont souvent imperceptibles. Ici on a affaire à l’une des rares formules de physique macroscopique (voire même gigascopique!) où elle intervient au dénominateur et empêche l’entropie du trou noir de grimper à l’infini. Je parie que le jour où l’on trouvera l’équation du Big Bang conciliant physique quantique et relativité générale, il y aura une constante de Planck au dénominateur qui expliquera pourquoi il n’y a pas de singularité à l’instant 0…

Puisque l’entropie du trou noir est proportionnelle à son aire, cela signifie que toute l’information contenue dans le trou noir est concentrée à sa surface. Pas la peine de s’embêter à décrire ce qu’il y a en dessous: un modèle qui décrirait parfaitement cette surface contiendrait automatiquement tout ce qu’il y a à savoir sur l’ensemble du trou noir, intérieur compris. C’est ce que les cosmologues appellent le principe holographique! Ce n’est pas si compliqué à comprendre après tout? (Mmhh? Si un peu quand même. Bon d’accord).

Evidemment tout ce que je vous ai expliqué là est bourré d’approximations, ça manque de précision et de justifications. Mais je trouve remarquable la démarche de Leonard Susskind, qui s’efforce de rendre accessible des phénomènes très complexes aux amateurs de physique, en justifiant tout qualitativement et avec le minimum de formalisme mathématique possible (sa série de cours s’appelle d’ailleurs « the theoretical minimum »). C’est une bonne manière d’enseigner la physique pour en faire comprendre l’esprit plutôt que d’enseigner des formules dont on ne comprend pas l’origine et qu’on aura très vite oublié.

Je trouve également tout à fait fascinant que les raisonnements ci-dessus puissent être à la fois convaincants pour le profane, réfutables (ils mènent à des prédictions vérifiées)… et en même temps assez peu valides, car on n’a pas le droit de raisonner sur des trucs aussi massifs sans prendre en compte les effets relativistes. Une belle leçon d’humilité scientifique en quelque sorte…

Sources:
L Susskind: Statistical Mechanics Lecture 5 (à partir de la 54eme minute)
L’article de Wikipedia est très bien fait

Billets connexes:
Au fait c’est quoi l’entropie?: pour comprendre le lien entre entropie, information et température
Cosmologie fastoche: trois billets pour comprendre l’origine de l’univers (1, 2 et 3)
Big Bang: une erreur de genèse
Si la relativité générale m’était contée

14 comments for “L’entropie des trous noirs

  1. Carde
    15/09/2013 at 23:33

    Ep=-mMG/d… sans la moindre puissance de 2 sur d ?

  2. 16/09/2013 at 08:33

    @Carde: ouh la non, surtout pas. C’est la force gravitationnelle qui est en 1/d2. L’énergie potentielle représente le travail que fournit cette force pour déplacer le corps depuis l’infini jusqu’à sa position. Mathématiquement, Ep est donc une primitive de la fonction exprimant la force…

  3. 16/09/2013 at 11:21

    « Un trou noir est donc vraiment super dense… », les petits oui, mais les gros ? Comme l’horizon est proportionnel à la masse, le « volume » augmente comme le cube de la masse, et j’avais été très surpris de voir que la densité de trous noirs supermassifs (au centre des galaxies) peut être proche de celle d’un vulgaire caillou ( http://www.drgoulu.com/2008/06/20/la-densite-des-trous-noirs/ )

    J’ai mis « volume » entre guillemets car une question que je me pose toujours est de savoir si on a le droit d’appeler « espace » ce que la surface délimite ? la singularité déforme-t-elle cet « espace » au point que son « volume » est sensiblement différent de celui de la sphère de rayon R ?

    Et sinon, peux-tu dire en quelques mots ce que tu penses de la « démonstration » que l’espace est discrétisé en 4-simplexes ( http://www.drgoulu.com/2011/08/13/selon-newton-lunivers-serait-digital/ ) ou te faut-il écrire un article là dessus ? 😉

    Merci beaucoup pour cet excellent article qui m’aide bien à relier plusieurs notions vues ça et là. J’adore le passage sur la constante de Planck au dénominateur et l’élimination de la singularité au « temps 0 ». Personnellement je pense que c’est notre définition même du temps qui cloche. Notre anthropocentrisme nous a (une fois de plus) conduits à définir le temps à partir de phénomènes cycliques de périodes supposées constantes…

    Peut-être que la physique des tous noirs pourrait nous aider à relier la [seconde] aux [kelvin] ou aux [bits] ?

    • 19/09/2013 at 22:37

      @Dr Goulu: oui bien vu pour cette histoire de densité (j’avais oublié ton billet à ce sujet). Sur l’espace discrétisé, je pense qu’on peut repartir de l’explication donnée dans le billet sur l’aspect « pixélisé » de l’horizon d’un trou noir: l’aire de cet horizon est constituée de la juxtaposition de surfaces élémentaires de taille fixe, chacune correspondant à un bit d’information. Par contre pour généraliser cette démonstration à l’espace-temps en général avec des 4-simplexes à la place des « pixels », là je donne ma langue au chat!

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  4. Pierre
    16/09/2013 at 17:56

    Bonjour et merci pour cet article très intéressant.

    Je tiens à souligner une petite erreur : Si la lumière ne parvient pas à s’échapper d’un trou noir, ce n’est pas parce que sa vitesse est insuffisante (puisque ne possédant pas de masse, elle n’est pas soumise à l’attraction du trou noir), mais c’est parce qu’elle suit une trajectoire en géodésique due à la déformation de l’espace engendrée par le trou noir.

    Je le précise car moins même étant plus jeune je butais sur ce point et regrettais de n’avoir trouvé une explication que très tard.

  5. 16/09/2013 at 22:16

    @Pierre: oui il est plus précis de dire que la lumière suit une géodésique dans un espace déformée par la gravitation, mais dans ma compréhension cela revient à dire qu’un photon est soumis à la gravitation, à cause non pas de sa masse (nulle) mais de son énergie-impulsion. Me trompé-je?

  6. Alan
    23/03/2014 at 00:48

    Pour l’énergie d’un trou noir, il ne manque pas un facteur c^2 (ce devrait être c^4) ?

  7. 23/03/2014 at 11:32

    @Alan: merci Alan, c’était une coquille. Heureusement qu’y en a qui suivent!

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