Le théorème de Noether: couteau suisse de la physique

Il y a des trucs qu’on apprend à l’école et qu’on admet une bonne fois pour toutes parce qu’ils tombent sous le sens. Par exemple « l’énergie se conserve » ou encore « les lois de la nature sont les mêmes pour tous, partout et tout le temps » etc. On ne sait plus trop d’où sortent ces règles mais ce n’est pas bien grave, elles sont tellement évidentes… Sauf qu’au début du XXeme siècle ces tétrapilectomanes de mathématiciens ont fini par s’interroger à leur sujet. Il faut dire que remettre les évidences en question était à la mode: la relativité restreinte venait tout juste de montrer que le temps s’écoule différemment selon que l’on se déplace ou pas. A défaut de pouvoir prouver le bien-fondé de ces lois fondamentales (on l’a fait plus tard), on pouvait en particulier se demander s’il était nécessaire de postuler toutes ces lois ou si certaines découlaient des autres. Que doit-on postuler au minimum pour que nos lois physiques tiennent encore debout, se demandait-on, un peu comme Euclide l’avait fait pour la géométrie dans ses Eléments.

L’indifférence de la nature envers nos références spatiales ou temporelles
C’est une mathématicienne allemande, Emmy Noether, qui résolut brillamment cette question en 1918 juste après que le célèbre Hilbert eut réussi à la faire venir à Gottingen, le temple des maths de l’époque, où avaient officié des stars comme Gauss, Dirichlet et Riemann. Hilbert avait dû batailler ferme pour faire accepter une femme comme professeur.  » Je ne vois pas pourquoi le sexe de la candidate serait un argument contre son admission comme privatdozent. Après tout nous sommes une université, pas des bains publics » avait-il lancé pour faire taire ses critiques. Il n’eut pas à regretter son choix: aussitôt arrivée à Gottingen, Emmy Noether démontra un superbe théorème établissant une étrange correspondance entre les lois de l’esthétique et celle de la physique.


Einstein qualifia son théorème de « monument de la pensée mathématique ». Je vais tenter de vous expliquer pourquoi, mais rassurez-vous, amis jipigequeudal, ça se comprend facilement.

D’un côté vous avez les symétries que l’on observe dans les lois de la nature:

  • Si vous lâchez une pièce de monnaie du haut d’un pont, la durée de sa chute ne change pas selon la date à laquelle vous la lâchez: en jargon de physicien cette évidence traduit l’indépendance des lois de la physique par rapport à l’instant de référence (celui où vous lâchez la pièce).
  • Les boules de billard rebondissent de la même façon que vous jouiez à Paris ou à Nouakchott. Les joueurs remercieront pour ça l’invariance des des lois par rapport à l’espace ou dit plus simplement l’homogénéité de l’espace.
  • Votre vitesse de pointe ne dépend normalement pas de la direction dans laquelle vous courez, car il n’y a pas de direction privilégiée par la nature: on appelle ça la symétrie des lois par rotation dans l’espace.
  • Votre balance indique le même poids que vous vous pesiez sur la terre ferme ou sur un tapis roulant, car les lois de la mécanique (classique) sont identiques entre deux référentiels ayant une vitesse constante l’un par rapport à l’autre: tous les programmes Weight Watcher sont redevables à la relativité Galiléenne.

On a comme ça une ribambelle de symétries: par reflet dans un miroir (symétrie par parité), par inversion des charges électriques, par renversement du temps etc. Si vous y regardez de près, chaque exemple illustre le fait que la valeur absolue d’une variable (le temps, l’espace, la direction etc) n’a aucune importance. Chaque symétrie exprime ainsi l’indifférence des lois de la nature vis-à-vis de ce que nous choisissons comme point de référence pour cette variable.

Sous la symétrie, cherchez l’invariant
Le génie de Noether a été de découvrir que derrière chaque symétrie des lois de la nature se cache la conservation d’une certaine quantité physique.

Prenons l’exemple de l’homogénéité de l’espace et raisonnons par l’absurde. Supposons qu’il y ait un lieu privilégié dans l’espace où une force d’attraction (électrique ou autre) entre deux objets s’exerce avec plus d’intensité qu’ailleurs. Plaçons un objet A en cet endroit magique et un autre objet B ailleurs. D’après ce qu’on vient de dire, la force que B exerce sur A est plus forte que celle de A sur B: Adios l’égalité entre action et réaction! Initialement immobiles, les deux objets vont se déplacer l’un vers l’autre, mais l’accélération de A étant plus forte que celle de B, leur quantité de mouvement totale cesse d’être nulle. Exit donc la conservation de la quantité de mouvement totale!

Dit dans l’autre sens, l’homogénéité de l’espace équivaut au principe d’égalité entre action et réaction et à la conservation de la quantité de mouvement d’un système isolé.

Continuons notre exploration et imaginons maintenant que la pesanteur varie dans le temps et soit plus faible la nuit que le jour. On pourrait monter une charge en haut d’un immeuble à minuit, attendre le lendemain pour la jeter dans le vide. On pourra alors récupérer de cette chute plus d’énergie qu’on en a dépensé: on aura alors violé la conservation de l’énergie. L’invariance des lois dans le temps traduit donc la conservation de l’énergie! Comme le dit élégamment Etienne Klein, « la loi de la conservation de l’énergie a une signification qui dépasse largement sa formulation habituelle: elle exprime rien de moins que la pérennité des lois physiques, c’est à dire leur invariance au cours du temps. Sous sa coupe, le temps devient le gardien de la mémoire du monde physique et le support même de son avenir. » C’est beau!

Réciproquement, le théorème de Noether montre qu’à chaque fois qu’une quantité physique se conserve, il y a une symétrie des lois naturelles dans le coin, avec une variable dont la valeur absolue n’a aucune importance. Autrement dit chaque propriété géométrique du système est indissociable d’une loi fondamentale de la nature. Ce théorème purement mathématique associe l’esthétique et la loi. Comme dit le poète, « Beauté est vérité et vérité beauté. Voilà tout ce qu’on sait sur Terre et ce qu’il faut savoir ».

On peut représenter ce résultat sous forme de tryptique:
– le type de symétrie (par exemple l’homogénéité de l’espace les lois sont invariantes par « translation spatiale »).
– la variable relative, associée à cette symétrie (en l’occurence la localisation Il n’existe pas de référentiel « absolu », de lieu privilégié).
– la quantité qui se conserve (la quantité de mouvement dans notre exemple).

Symétrie des lois de la physique
Ce qui est relatif
La quantité conservée
Homogénéité de l’espace
(Les lois sont les mêmes partout)
Le lieu de référence La quantité de mouvement (ou l’impulsion)
Homogénéité du temps
(Les lois sont les mêmes tout le temps)
L’instant de référence L’énergie totale du système
Isotropie de l’espace
(Il n’y a pas de direction privilégiée dans l’espace)
L’orientation dans l’espace
Le moment cinétique


Un théorème chasseur de lois
Savoir que toute loi de conservation est associée à une symétrie sous-jacente et inversement s’est révélé extrêmement fructueux en physique. En électricité par exemple, la tension est une valeur relative: le monde serait identique si on ajoutait 100V partout. Cette « invariance de jauge » correspond à une loi naturelle toute simple: la conservation de la charge électrique.

Évident direz-vous? OK alors faisons le même raisonnement pour les quarks, ces petites particules élémentaires qui constituent les protons et les neutrons. Leur cohésion est assurée par une interaction forte, analogue à l’interaction électromagnétique. L’invariance de jauge associée à cette interaction forte implique l’existence d’une « charge forte » du quark, qui se conserve et qu’on appelle sa couleur car elle a trois dimensions, comme les trois couleurs primaires rouge, vert et bleu. Le théorème de Noether a suffi à justifier théoriquement l’existence et la structure d’une caractéristique fondamentale des quarks. De même il permet de déterminer les attributs propres à chaque particule élémentaire: le nombre baryonique, l’isospin, la saveur, l’hypercharge. Un vrai détecteur de propriétés ce théorème!

Pour la petite histoire, la conservation de la couleur des quarks peut s’illustrer… avec des couleurs justement. Si on imagine qu’une couleur est un pixel à l’écran (rouge, vert ou bleu), l’invariance de la couleur signifie qu’on peut permuter localement les pixels autant qu’on veut, tant qu’on respecte la proportion de rouges, de verts et de bleus (source des illustrations ici):

On peut imager cette invariance par le fait qu’on qu’on peut mélanger localement tous les pixels d’une image à l’écran, sans que ça change quoique ce soit au rendu globale de l’image:


Au tableau de chasse du théorème de Noether figure naturellement la symétrie CPT dont le Dr Goulu a raconté la merveilleuse histoire dans un très bon billet. Cette symétrie affirme que les lois de la physique ne changent pas lorsque toutes les particules sont remplacées par leur antiparticule (inversion de charge C), qu’on inverse la droite et la gauche comme dans un miroir (changement de parité P) et qu’on renverse le temps (T). Cette invariance est le dernier bastion de résistance de notre bon sens, car on a déjà réussi à violer à la fois la symétrie par inversion de charge (C) et par changement combiné de charge et de parité (CP). La symétrie CPT tiendra-t-elle le coup? Il vaut mieux pour notre santé mentale car d’après Etienne Klein « dès 1940, Wolfgang Pauli avait pu démontrer que l’invariance par CPT de la dynamique des phénomènes physiques doit être postulée dans toute théorie physique « raisonnable » car elle exprime de la façon la plus formelle qui soit… le bon vieux principe de causalité! Elle constitue donc le socle de la physique moderne. En conséquence, si une violation de l’invariance CPT venait à être observée, les fondements mêmes du modèle standard s’effondreraient ». Gloups!

Incertitude et relativité: tout est Noetherisable!
Regardez maintenant les couples que forment pour chaque symétrie, la quantité conservée et la variable associée: impulsion et position, énergie et temps etc. Ces couples sont tous liés par le principe d’incertitude d’Heisenberg qui limite la précision théorique avec laquelle on peut mesurer les deux membres du couple en même temps. Par exemple on ne peut connaître parfaitement à la fois la vitesse d’une particule et sa position (ce qui s’exprime par la formule Δp.Δx ≥ h); de même, plus on veut mesurer l’énergie d’une particule avec précision, plus le délai pour y parvenir est grand (formalisé par l’expression ΔE.Δt ≥ h/2).
Quand je vous dis que ce théorème est puissant: on y retrouve la plupart des fondements théoriques de la physique quantique!

Notre théorème sert aussi à l’autre extrémité de l’échelle physique, dans le domaine de la relativité. L’invariance par transformation de Lorentz correspond par exemple à la conservation de l’intervalle d’espace temps s²=x²+y²+z²-ct². Au moment où Einstein et Hilbert s’arrachaient les cheveux sur la relativité générale, Fräulein Noether les a considérablement aidés à formaliser et à justifier proprement les équations et ses théorèmes constituent aujourd’hui encore des outils fondamentaux de cette théorie.
Paradoxalement cet apport est moins connu du monde de la physique théorique. Ce n’est pourtant pas le moindre de ses mérites que d’avoir fourni un support théorique à la fois en mécanique quantique et relativiste, deux branches souvent irréconciliables de la physique moderne.

Récapitulons: le théorème de Noether prédit toutes les lois d’invariance de la Nature juste en contemplant ses symétries, il réconcilie théorie quantique et relativiste, détermine les caractéristiques des particules élémentaires et permet même de retrouver le principe d’incertitude d’Heisenberg. C’est le Victorinox de la physique moderne!

Sources:

Le site de l’Université Louis Pasteur de Strasbourg d’où j’ai tiré ces jolies illustrations est particulièrement intéressant
Le site Mathéphysique de Fabien Besnard, pour l’explication sur l’invariance de jauge
Pour une démonstation compréhensible du théorème de Noether, je vous suggère la traduction d’un article de vulgarisation de John Baez, plus simple que la démonstration de Wikipedia

Les théorèmes de Noether, d’Yvette Kosmann Schwarzbach aux Editions de l’Ecole Polytechnique, raconte notamment sa contribution aux équations de la relativité générale.
Les tactiques de Chronos, d’Etienne Klein (2004)

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11 comments for “Le théorème de Noether: couteau suisse de la physique

  1. Miss Celaneus
    12/10/2009 at 15:30

    >Je n'ai jamais joué au billard à Nouakchott. C'est une idée…

  2. 24/05/2013 at 18:57

    Je redécouvre cet excellent billet maintenant que je m’intéresse de plus près au théorème de Noether, mais hélas les images ont disparu. Arrives-tu à les récupérer ?
    Merci !

    • 24/05/2013 at 21:30

      Et voilà! Le passage sous WordPress a enlevé toutes les images, n’hésite pas à me signaler celles qui manquent encore!

  3. 25/02/2014 at 14:14

    Je re-reviens à ton article car je vais en remettre une couche sur mon blog à ce sujet et il y a toujours un petit quelque chose qui me turlupine…

    Sur https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(physique)#Remarque on lit « Le théorème s’applique à certaines classes de théories décrites soit par un lagrangien, soit par un hamiltonien, ce qui est le cas de la plupart des théories en physique. »

    Ce qui me chicane, ce sont les termes « certaines classes » et « la plupart ».

    Quelles sont les théories de physique qui ne s’expriment pas par un Lagrangien ou un Hamiltonien et qui ne seraient donc pas sujettes à ce théorème ?

  4. 01/03/2014 at 17:20

    @Dr Goulu: oui c’est une subtilité qui est soulignée partout et je n’ai pas bien compris dans quel cas un système n’admet pas de Lagrangien. Je te conseille ce papier qui s’attaque au sujet… Autant dire que je n’ai pas tout compris 😉

  5. Philou
    30/07/2016 at 14:11

    Sans formation scientifique, celui qui comme moi essaye de comprendre quelque chose à la physique moderne (celle d’après Newton) se retrouve en permanence face à des murs infranchissables, batis des pierres qu’on appelle langrangiens, hamiltoniens, transformations de Lorentz et j’en passe de meilleurs, que la plupart des sachants, par accord tacite probablement, s’empressent d’exhiber mais de ne jamais vulgariser – si bien qu’en réalité ils laissent les notions de base de la science physique moderne hors de portée du commun des mortels, à croire presque que c’est d’abord ce qu’ils entendent démontrer (= qu’ils ne font pas partie de ce commun et que la vulgarisation c’est donner du lard aux cochons). Un grand merci donc pour cet exposé clair qui montre qu’il est possible de lever un coin du voile sur des notions fondamentales et les relier entre-elles de manière accessible. C’est rare pour ne pas dire exceptionnel en vulgarisation.

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