Jeu de réflexion

– T’es-tu déjà demandé pourquoi les miroirs inversent la gauche et la droite et non pas le haut et le bas par exemple?
… Silence même pas troublé par l’ambulance qu’on aimerait voir rappliquer dare dare pour traiter ce qui ressemble fort à une attaque de delirium tremens.
– Ce n’est pas une question aussi idiote que ça en a l’air: mon reflet dans un miroir, c’est moi mais à l’envers; ma main gauche est devenue ma main droite. Pourquoi dans ce sens et pas le haut en bas?
– Bon d’accord, je donne ma langue au chat d’Alice
– Et bien je crois qu’il n’y a pas de raison, tout simplement parce que les miroirs n’inversent pas gauche et droite mais l’avant et l’arrière.
– … !!!
– Mets toi devant un miroir placé au Nord. Lève ta main droite: elle pointe vers l’Est. La main levée de ton reflet indique aussi l’Est. Par contre si tu pointes ta main devant toi (vers le Nord donc), ton reflet pointe la sienne vers le Sud. Ce qui est inversé c’est donc la direction de l’axe perpendiculaire au miroir, ton « avant » et ton « arrière », et non pas la gauche et la droite comme on le croit intuitivement. Si tu colles le miroir au plafond…
– Là, mon reflet aura la tête en bas et les pieds en haut: ce qui est maintenant inversé c’est les pieds et la tête.
– …Autrement dit toujours l’axe perpendiculaire au miroir qui cette fois est vertical.
– Ça choque pourtant le sens commun.
– Oui parce que nous avons tendance à nous identifier mentalement avec notre reflet. Or de l’autre côté du miroir placé au Nord, puisque l’axe Nord-Sud est inversé c’est ma main gauche qui pointe vers l’Est…
– Fascinant!
– Effectivement. Je crois que cette fascination tient au fait que le miroir est une porte vers une dimension supérieure….
– Allons bon, je rappelle l’ambulance.

Le miroir, indice d’une dimension supérieure?

– Je m’explique: regarde ce dessin plein de mains droites et de mains gauches.
– Magnifique… Alors?
– Suppose que ces mains droites et gauches soient des êtres plats vivant dans le dessin et ne pouvant s’en échapper. Chaque main droite voit bien qu’elle est semblable à un tas d’autres mains droites, mais qu’elle ne peut se superposer aux mains gauches quelque soient ses efforts. Comment peut-elle s’y prendre pour « réaliser » qu’elle est quand même analogue avec les mains gauches?
– Il suffirait de la découper et de la retourner: elle se superposerait alors avec n’importe quelle main gauche…Mais ce serait supposer qu’elle « sorte » du dessin, ce qui est interdit. Comme les reptiles de Escher qui sortent du dessin pour y retourner.
– Tout juste. Il a pourtant une parade: si l’on trace une ligne droite sur le dessin et que la main imagine…
– L’imagination au bout des doigts!
– … imagine, disais-je qu’elle se projette symétriquement par rapport à cette ligne. Elle verrait que son image projetée est une main gauche!
– J’ai compris! La ligne qui sert d’axe de symétrie, joue le rôle du miroir de tout à l’heure!
– Ce qui est bien normal puisqu’un miroir n’est jamais qu’une symétrie sur pattes si je puis dire… Le retournement que l’on ne peut pas réaliser quand on est « prisonnier » de son dessin, la symétrie-miroir permet de le faire.
– Ca me rappelle ce dessin d’Escher où une main gauche dessine une main droite qui lui est symétrique. Les deux mains sont obligées de sortir du dessin pour pouvoir se dessiner l’une l’autre….

– Tout à fait: et voilà pourquoi je te disais que se refléter dans un miroir c’est un peu comme opérer un retournement dans la dimension supérieure: pour notre dessin (dimension 2), un miroir-ligne (dimension 1) permet de faire un retournement dans l’espace (dimension 3) pour identifier un dessin et son inverse. Dans notre espace (à trois dimensions), c’est grâce à un miroir imaginaire (un plan, donc de dimension 2) que l’on associe intuitivement des hélices ou des spirales inversées les unes par rapport aux autres, une chaussure droite avec une chaussure gauche etc.
– Ce que tu es en train d’expliquer c’est qu’en dimension 4, un objet et son reflet dans un miroir sont superposables. Fichtre… Et à part ça, ça ressemble à quoi un objet en dimension 4?
– Pas facile à dire car on a l’habitude de percevoir les choses en trois dimensions, pas en quatre… Pour ma part j’imagine le retournement qui consiste à retourner un gant droit en transformant l’intérieur à l’extérieur (inside-out diraient les Anglais).
– Effectivement on transforme comme ça un gant droit en un gant gauche. Sauf que l’intérieur ne ressemble pas à l’extérieur!
– C’est toute la limite de l’analogie, je te le concède bien volontiers. Le gant « à moitié retourné » serait le gant dans la quatrième dimension, mais ça devient vite très compliqué à s’en faire une image correcte… Regarde ce petit extrait du film « dimensions » qui est une petite promenade dans la quatrième dimension…


Les nombres complexes: un simple jeu de miroir!

– Grmfff, un peu compliqué quand même… Il y a d’autres promenades plus accessibles de l’autre côté des miroirs?
– Et bien par exemple, il y a la promenade au pays des nombres imaginaires.
– Ah oui???
– Au XIXe siècle, Robert Argand eut l’idée de représenter géométriquement ce que signifie additionner, multiplier etc sur une droite graduée. Par exemple pour multiplier 2 par -1, il suffit de prendre le symétrique 2 par rapport au O; on tombe sur -2.
– « 2 x (-1)= -2 », jusque là je te suis (sauf qu’avec les tirets de notre conversation on n’y comprend rien)
– Prendre son symétrique, c’est comme lui faire faire une rotation d’un demi-tour. Que se passerait-il si au lieu d’un demi-tour on on ne faisait qu’un quart de tour?
– Ca nous sort de la droite des nombres réels!
– Tout juste. On tombe sur un nombre bizarre à la verticale de 0, dans une autre dimension que celle des nombres réels dont on a l’habitude. C’est pour cette raison qu’on a appelé ce nombre i comme « imaginaire ».
– Autrement dit, faire un quart de tour, c’est « multiplier par i », même si on ne sait pas très bien encore ce que ça veut dire…
– Exact. Et si on renouvelle cette opération deux fois, on tombe sur -1. Autrement dit 1 x i x i = i² = -1
– Je comprends! i est la racine (imaginaire bien sûr) de -1!

imaginaires

L’une des racines, l’autre étant -i, qui se trouve sur l’axe vertical, symétrique de i par rapport à 0. En combinant nombres réels et imaginaires, on obtient ce qu’on appelle les nombres « complexes »: 1+2i par exemple est le point qui sur notre graphique vaut 1 en abscisse et 2 en ordonnée. Adrien Douady explique joliment dans cet autre épisode de Dimensions, toutes les jolies choses qu’on peut faire avec ces nombres complexes, par exemple de très jolies fractales.

– Ca donne à réfléchir tous ces miroirs.
– Celle-la, je n’aurais pas osé, même comme chute pour un billet de blog…

Références

Le site du films « Dimensions »

5 comments for “Jeu de réflexion

  1. Tom Roud
    02/11/2008 at 13:12

    >J’ai mis du temps à comprendre la chute…Je ne savais pas qu’on avait inventé les nombres complexes d’abord dans leur version géométrique : on retrouve par la rotation de 180 degrés que e^(i Pi)=-1 tandis que la rotation d’un quart de tour nous dit que e^(i Pi/2)=i !

  2. Xochipilli
    02/11/2008 at 20:35

    >Bien avant la version géométrique, l’Italien Jérôme Cardan avait introduit au XVIe, la racine de -1 pour résoudre certaines équations du 2eme degré. Pour la petite histoire sa notation sous la forme (√-1) posait problème à cause du paradoxe suivant:-1=(√-1)²=√-1√-1=√(-1x-1)=√1)=1!C’est Euler qui a inventé la notation i, résolvant ainsi le paradoxe de ce « nombre impossible », mais il a effectivement fallu attendre Robert Argan au début du XIXe pour formuler la version géométrique complète des nombres complexes.(Sources: Wikipedia et le site maths et tiques)

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