Elémentaire mon cher Newton

Richard Feynman, prix Nobel de Physique est un des rares scientifiques à être aussi connu pour ses découvertes en physique quantique (voir par exemple le billet de Benjamin au sujet de ses fameux « diagrammes ») que pour son génie de la pédagogie. Ses cours de première année à l’Université Caltech étaient de véritables shows et leur recueil reste la référence de tous les étudiants américains en physique. David Goodstein, qui fut un de ses assistants raconte [1] qu’il lui demanda un jour de lui expliquer pourquoi les particules de spin 1/2 obéissent à la statistique de Fermi-Dirac (le truc simple, hein!):

Mesurant son public, il me répondit: « Je vais préparer un cours de première année là-dessus ». Mais il revint quelques jours plus tard pour me dire: « Je n’ai pas pu. Je n’ai pas pu le réduire au niveau d’une première année. Ça veut dire qu’on ne comprend pas vraiment pourquoi. »

Son grand plaisir était de trouver des explications simples pour expliquer des trucs compliqués. Au cours d’une célèbre séance télévisée Feynman expliqua par exemple les causes de l’explosion de la navette Challenger, en jetant négligemment (en fait son numéro était finement rôdé) un morceau de joint des boosters de l’engin dans un verre d’eau glacée. Il montra comme ça comment un simple changement de température faisait perdre son élasticité au joint et avait pu provoquer l’accident de 1986.

Galilée avait raison!
On vient de publier en français un de ses cours de 1964, qu’on a retrouvé un peu par hasard trente ans plus tard, et dans lequel Feynman explique comment Newton s’y est pris dans ses Principia de 1687 pour démontrer les lois de la gravité et la forme elliptique des orbites. Cette démonstration est historique car c’est l’un des tous premiers moments de l’histoire des sciences où l’on démontre les lois de la nature par la seule force de la géométrie. Preuve que Galilée avait vu juste quand il disait que « [l’univers] est écrit en langage mathématique et ses caractères sont les triangles, les cercles et autres figures géométriques, sans lesquels il est absolument impossible d’en comprendre un mot. » Le cauchemar des étudiants allergiques aux maths date de là!

Comme toute démonstration géométrique, c’est un petit bijou d’élégance car ses arguments sont tous à la portée de tout (bon) lycéen. Il n’est pas étonnant que Feynman ait eu à cœur de la retrouver juste pour le fun et je ne résiste pas au plaisir de vous la présenter sous une forme encore plus simple que celle de Goodstein-reprenant Feynman-reprenant Newton. Si vous aimez les maths, vous ressentirez peut-être comme moi une vraie émotion face au déroulé implacable de sa logique à la fois simple et efficace, qui démasque l’une après l’autre les énigmes millénaires des lois célestes. Amis jipigequeudal passez prudemment votre chemin; mon prochain billet sera moins hard, promis!

 



L’histoire se passe au XVII° siècle. Kepler avait bien remarqué que les trajectoires des planètes n’étaient pas des cercles: ses calculs ne collaient pas avec ses observations. A force d’y travailler il publia trois lois empiriques déduites de ses mesures:
K1: Un segment de droite imaginaire, reliant le soleil à une planète, balaye toujours la même surface dans un temps donné.
K2: Le carré d’une année planétaire est proportionnel au cube du rayon de son orbite. Autrement dit T²~R3
K3: Toutes les orbites planétaires sont des ellipses dont le soleil occupe l’un des foyers.

Le génie de Newton fut de trouver l’explication de ces observations par la seule force du raisonnement, en partant juste des trois lois fondamentales qu’il postulait et que vous avez (normalement!) tous appris au lycée
N1: Tout corps persiste dans son repos, ou son mouvement uniforme en ligne droite, à moins que des forces ne l’obligent à changer cet état. C’est le principe d’inertie, que Galilée et Descartes avaient supputé avant lui et que le parti socialiste applique avec méthode.
N2: Le mouvement change proportionnellement à la force motrice appliquée, et dans la direction de la ligne droite dans laquelle cette force est appliquée.
C’est la fameuse deuxième loi de Newton, qu’on écrit maintenant par ΔV = F Δt (je mets en gras chaque fois qu’il s’agit de vecteurs, c’est-à-dire de « flêches ») et qui exprime simplement que plus on tape fort dans le ballon, plus il part vite.
N3: A toute action s’oppose une réaction égale. Cette loi traduit juste le fait que les forces internes d’un corps isolé se compensent les unes les autres quelque soit la forme du corps en question. On peut donc raisonner sur une planète comme si elle se réduisait à un point géométrique, localisé en son centre de gravité, ce qui simplifie le paysage.

Newton démontra d’abord pourquoi si la force de gravitation est dirigée vers le centre du soleil, les planètes balayent des surfaces égales en des temps égaux (K1).
Ensuite, il exploita l’observation K2 de Kepler dans le cas des orbites quasi-circulaires qu’on observe souvent. Grâce à sa deuxième loi de la dynamique (N2) il conclut que la force de gravitation est inversement proportionnelle au carré de la distance au soleil (F~1/R²).
Enfin, sans faire d’hypothèse supplémentaire, il démontra géométriquement pourquoi les orbites célestes sont des ellipses (K3).
Suivez-le guide!

1) Pourquoi les planètes balayent des surfaces égales en des temps égaux si la force est dirigée vers le soleil.
Un petit schéma aide à comprendre ce qui se passe. Le soleil est en S et la planète part du point A avec une vitesse VA.
En rouge les vitesses, en noir les trajectoires.

Raisonnons sur deux intervalles de temps très petits et égaux et comparons ce qui se passe:

– en l’absence de force,
– si la planète subit une force dirigée vers le centre du soleil.
image Newton1(Cliquez sur l’image pour l’aggrandir)
Avec ces résultats, calculons les aires balayées durant les deux intervalles de temps (égaux) si la force que subit la planète est effectivement dirigée vers le soleil:

image Newton2Newton vient de démontrer que si la force d’attraction est dirigée vers le soleil, quelque soit son amplitude, une planète « balaye » toujours la même aire durant un intervalle de temps donné. Autrement dit, l’aire qu’elle dessine est proportionnelle au temps.

C’est ce qui explique qu’un patineur tournoyant sur lui-même, va de plus en plus vite à mesure qu’il se ramasse sur lui-même: la force centrifuge étant toujours dirigée vers son axe de rotation, ses bras sont comme les planètes, condamnés à balayer une surface égale pour des temps égaux. Donc à tourner plus vite quand ils sont près du centre de rotation. Passons à l’étape suivante:

2) Pourquoi la force de gravité est-elle inversement proportionnelle à la distance au soleil?
Newton raisonne sur une orbite circulaire parce que bon nombre de planètes ont des trajectoires quasi circulaires. Si la loi de la gravitation est universelle, il suffit de démontrer sa forme dans le cas le plus simple: Isaac l’attrape donc par son point faible, le cercle et commence par calculer la variation de vitesse ΔV correspondant à un intervalle de temps fixe Δt.

image Newton3ΔV est donc proportionnel à R/T² et à Δt.
Or Kepler a observé que T² est proportionnel à R3 et d’après la deuxième loi de Newton, F=ΔV/Δt
F est donc proportionnel à R/R3= 1/R².
Voilà, Newton venait de montrer que la loi de la gravité est inversement proportionnelle au carré de la distance de la planète au soleil. Tan tan!

3) Pourquoi les planètes parcourent des trajectoires elliptiques

Reste le morceau de choix. Celui sur lequel Feynman a dû se concocter sa propre démonstration car celle de Newton était incompréhensible.
Il s’y prend en quatre étapes:

a) Il démontre d’abord que la variation de vitesse ne dépend que de l’angle « balayé » par la planète. Propriété fondamentale dont découle tout le reste.
b) Il montre ensuite que le « diagramme des vitesses » est un cercle et comment les vecteurs vitesses tournent dans ce cercle lorsque la planète se déplace sur son orbite.
c) Il explique comment réciproquement, en se donnant un cercle quelconque comme « diagramme des vitesses » a priori, on peut construire géométriquement une position « candidate » de la planète, à un changement d’échelle près.
d) Il montre enfin que l’ensemble des positions ainsi construites forme une ellipse et qu’elle respecte toutes les propriétés des orbites célestes.

Première étape:
Au lieu de découper l’orbite de la planète en petits temps égaux, Newton la découpe en petits angles égaux (parcourus en des temps différents donc) et il montre que la variation de vitesse est alors constante pour un angle donné:

image Newton4L’aire balayée par la planète est proportionnelle au carré de la distance au soleil. Or d’après la loi des surfaces balayées de Kepler (K1), le temps que met la planète à balayer cette aire est proportionnelle à son aire. Ce temps est donc lui aussi proportionnel au carré de la distance au soleil.

Δt~R²
Or F~1/R²
Comme ΔV=FΔt, ΔV~R²/R²
ΔV est constant en tout point de l’orbite pour un angle α donné.

Deuxième étape:
Avec ce résultat, Feynman montre que le diagramme des vitesses (je crois qu’on appelle ça un « hodographe ») est un cercle!

image Newton5image Newton6Troisième étape:

On a maintenant tout ce qu’il faut pour essayer de tracer une trajectoire pour notre planète, en partant d’un cercle représentant le diagramme des vitesses.
On commence par construire le diagramme des vitesses:
– un cercle d’une longueur arbitraire R
– un point O à l’intérieur, différent du centre S.
On sait que toutes les vitesses dans ce diagramme auront pour origine O et pour extrémité un point du cercle (ici p).
image Newton7
image Newton8
Dernière étape:
Pour faire durer le suspense, regardons d’abord les propriétés géométriques de « l’ensemble des points P » qu’on vient de construire.
Puisque P est sur la médiatrice de [O,p], OP = Ppimage Newton9
donc SP + OP = SP + Pp = Sp
Or par construction, p est sur un cercle de centre S, donc Sp est une constante.
SP + OP = constante est la définition d’une ellipse (l’animation vient de Wikipedia):

P est donc sur une ellipse dont O et S sont les foyers.
On chauffe!
Vérifions maintenant que la médiatrice de [O,p] est bien tangente à l’ellipse.
Quels sont les points Q appartenant à la fois à cette médiatrice et à l’ellipse?
Si Q appartient à l’ellipse, SQ + OQ = Sp
Si Q appartient à la médiatrice de [O,p], OQ = Qp
On a donc SQ + Qp = Sp
Or SQ + Qp est toujours inférieur à Sp sauf si Q appartient à [S,p].
La médiatrice de [O,P] ne coupe donc l’ellipse qu’en son point d’intersection avec (Sp).

Autrement dit, en P la tangente de l’ellipse est bien perpendiculaire à (Op) et la propriété 1 est vérifiée. Une trajectoire elliptique est donc tout à fait compatible avec la force de gravitation. CQFD! (Ce Qu’il Fallait Démontrer). Feynman aurait plutôt dit QED (Quod Erat Demonstrandum) pas parce qu’il aimait le latin mais parce qu’il avait aussi inventé l’électrodynamique quantique, QED en anglais.


Les coniques

En fait la trajectoire elliptique n’est qu’une des trajectoires possibles:
Si l’origine des vitesses est au centre du cercle, la figure formée est un cercle.
Si l’on prend l’origine pile sur le cercle, la trajectoire est une parabole.
Si on l’avait prise à l’extérieur du cercle, la trajectoire aurait la forme d’une hyperbole, formant des branches à l’infini… C’est typiquement ce qui arrive à la comète de Halley et aussi aux particules chargées quand les bombarde selon certains angles sur une fine feuille d’or (les forces électromagnétiques entre particules chargées sont aussi proportionnelles à l’inverse de la distance). En 1910, Rutherford démontra grâce à cette propriété que la masse des noyée est concentrée dans un tout petit volume et que les atomes sont surtout faits… de vide.

Dans une de ses notes de cours, Feynman avait écrit: « Les choses simples ont des démonstrations simples ». Et puis il avait barré le deuxième « simples » pour le remplacer par « élémentaires ». Cette démonstration de Newton, prouve s’il en était besoin la nuance entre les deux termes. La géométrie c’est un peu comme la cuisine: pas besoin d’ingrédients très compliqués pour faire une recette sophistiquée: pour réussir un soufflé ou une mayonnaise, tout est dans le tour de main!

Sources:

[1] Le mouvement des planètes autour du soleil (Richard Feynman, David Goodstein et Judith Goodstein, 2009) avec ce fameux cours perdu de 1964.
– La nature de la physique (Richard Feynman, 1980): un recueil de textes très simples sur les mystères des symétries en physique. Passionnant!
– Lumière et matière – Une étrange histoire (Richard Feynman, 1987): l’explication aussi simple que mystérieuse des interactions lumière-matière au moyen des petits diagrammes de Feynman.

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2 comments for “Elémentaire mon cher Newton

  1. Ethaniel
    07/02/2012 at 11:00

    > la forme d’une hyperbole, formant des branches à l’infini… C’est typiquement ce qui arrive à la comète de Halley…
    Une comète sur une trajectoire hyperbolique ne passe qu’une seule fois près du Soleil avant de se perdre « à l’infini » (modulo l’interaction des autres corps, bien sûr), ce qui n’est manifestement pas le cas de la comète de Halley qui revient nous faire coucou tous les 76 ans sur sa trajectoire elliptique ;).

  2. 07/02/2012 at 13:07

    Ouh la oui en effet, merci de cette observation judicieuse !

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