Chaînettes aériennes

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(source photos ici)
Quand en 1883, Gaudi reprend le projet de la grande cathédrale de Barcelone, son idée est de révolutionner l’architecture dont le modèle gothique dicte sa loi à toutes les églises d’Europe depuis 800 ans. Ras-le-bol des murs épais, des inévitables contreforts -qui n’empêchent pas la construction d’être fragile-, des toits trop légers pour résister au temps. L’heure de la révolté a sonné! La Sagrada Familia sera à la fois plus aérienne, plus légère et plus solide qu’aucune autre cathédrale. Comment diable Gaudi a-t-il réussi cet exploit? Il n’y a même plus de clef de voûte! Et en fervent admirateur de la Nature,
Gaudi a choisi en plus d’éviter au maximum les formes artificielles comme l’arc de cercle ou le quadrilatère: de l’intérieur sa cathédrale ressemble à une forêt…

Son pari architectural a pu être tenu (en partie) grâce aux étonnantes propriétés de la figure que forme un câble ou un collier qu’on laisse pendre en le tenant par ses deux extrémités : celle des câbles électriques entre leurs poteaux de soutien par exemple. Si vous rigidifiez votre chaînette pendant qu’elle pend, et que vous la retournez ensuite avec son « arrondi » vers le haut, elle tient parfaitement: tout le poids de la chaînette est intégralement retransmis dans l’axe même de celle-ci. Plus besoin de contrefort, puisqu’il n’y a plus de poussée latérale! On peut alléger les murs et c’est ce qui a permis à Gaudi de concevoir ses colonnes de soutien comme de minces troncs d’arbres.

Un tout petit peu de physique explique pourquoi (amis physico-phobes, je vous retrouve un paragraphe plus bas).

A l’équilibre, chaque maillon de la chaînette pendante est soumis d’une part à son poids et d’autre part aux tensions de la part des maillons du dessus et du dessous. La résultante de ces tensions compense donc exactement le poids de chaque maillon. Quand on rigidifie la chaînette et qu’on la retourne tête en bas, ces tensions changent d’orientation et deviennent des compressions. Mais leur résultante compense toujours parfaitement le poids du chaînon en chaque point.


Cette étonnante propriété des « chaînettes pendantes renversées » a été depuis Gaudi souvent mise à profit dans de nombreux édifices modernes épris d’altitude et de légèreté: le Gateway Arch (St Louis, Missouri) de 200 mètres de haut en est un magnifique exemple, mais aussi le CNIT (à la Défense) ou les voûtes souterraines de la gare Haussmann à Paris.

Pourquoi ne pas y avoir pensé plus tôt? A première vue, c’était quand même plus simple et plus élégant que d’imaginer des clefs de voûte. A seconde vue pas du tout: la forme de la chaînette pendante est aussi simple à réaliser (à échelle réduite) qu’elle est compliquée à calculer. Car contrairement à ses apparences de bonne vieille parabole, son équation mathématique est coriace au point d’avoir trompé Galilée lui-même. Il fallu attendre que Jacques Bernoulli lançât un défi aux savants de son époque pour que simultanément Huygens, Leibniz et Jean Bernoulli (le frère de Jacques) ne découvrent sa formulation mathématique en 1691: un cosinus hyperbolique, rien que ça: (amis mathophobes, je vous retrouve pour la conclusion).

Pour trouver son équation, on écrit l’équilibre d’un morceau de chaînette de longueur l entre le point le plus bas (O) et un point quelconque (M). La tension en ces points vaut respectivement T(O) et T(M) et le poids de cette longueur de chaînette vaut P(l), vertical et proportionnel à la longueur l (en gras ce sont des vecteurs):
T(O)+T(M)+P(l)=0.
P est vertical et T(O) est horizontal, et T(M) est tangent à la courbe en M (c’est une tension qui s’exerce dans l’alignement de la chaînette). Notons â l’angle entre T(M) et l’horizontal:
T(O)+ T(M) cos(â)=0
T(M) sin(â)=-P(l)
On en déduit en éliminant T(M) et en prenant les constantes qui vont bien (T(O) en faisant partie): tg(â)=K l
Or tg(â)=dy/dx donc en dérivant cette expression par rapport à x, on trouve y »=K dl/dx
Comme dl= √[(dx)²+(dy)²]=dx √[1+(dy/dx)²]=dx √[1+y’²], on en déduit que dl/dx= √[1+y’²]
L’équation de notre chaînette est une équation différentielle : y »=K√[1+y’²]
Je vous passe les détails (Serge Mehl a tout bien détaillé ici), mais la solution de cette équation est sous la forme d’un cosinus hyperbolique, autrement dit,

Bref, la forme est peut-être naturelle, mais l’équation n’est pas ultra simple: c’est une courbe transcendante, impossible à tracer à la règle et au compas (à moins qu’El_Jj ne nous trouve une méthode révolutionnaire avec des pliages?) Et encore, là nous n’avons vu que la courbe en deux dimensions: dans la vraie vie on doit fabriquer des voûtes en trois dimensions! Pour la tracer précisément sur un plan, bon courage.

Le seul moyen qu’a trouvé Gaudi pour obtenir la forme recherchée, fut de retourner le problème: il laissait pendre des filets convenablement lestés, accrochées aux points hauts de sa structure (source de la photo ici). En rigidifiant le tout et en le retournant, il obtenait le modèle de ses voûtes, sans aucun calcul. La méthode est originale mais très laborieuse. Et en l’absence de plan, tout reposait entièrement sur ce que Gaudi avait en tête.

Lorsqu’il mourut en 1923, aucun document précis ne décrivait dans le détail ce qu’il restait à faire! Un vrai casse-tête pour les architectes qui ont repris le chantier et qui n’auront pas fini le boulot avant une ou deux décennies.

Cette histoire illustre une différence fondamentale entre sciences et techniques: les meilleures solutions techniques sont celles que l’on saura mettre en œuvre et non pas forcément les optimums qu’indiquent les calculs et que la Nature déploie couramment. Ces optimums « naturels » ont ceci de paradoxal qu’ils sont à la fois plus élégants, plus simples (en apparence) et plus « efficaces » que toutes nos constructions techniques, et en même temps très difficilement accessibles à nos moyens techniques. C’est sans doute la raison pour laquelle on trouve autant de cercles ou de polygones dans nos constrctions et aussi peu dans la Nature: ces figures emblématiques de l’intelligence humaine ne seraient-elles que des pis-aller technologiques? En tous cas, merci Monsieur Gaudi pour cette leçon d’humilité.

Pour ceux que ces drôles de courbes intéressent -on les appelle des courbes funiculaires ou des vélaires- sachez que c’est le support idéal si vous décidez de vous acheter un modèle de voitures à roues carrées (ou polygonales, très tendance). Je vous laisse regarder le pourquoi du comment sur le site de mathcurve


Sources:
Le chapitre « principe des structures architecturales légères  » de l’encyclopédie du futur , de Vahé Zartarian
Le site de mathcurve pour les propriétés mathématiques de ces courbes
Le chapitre que consacre Serge Mehl sur ce sujet
Une démonstration de l’équation des chaînettes sur le blog de Pierre Bernard

4 comments for “Chaînettes aériennes

  1. Missmath
    21/02/2009 at 04:06

    >Bonjour, votre blogue est fort intéressant. Je ne suis pas certaine par contre que les arches des restaurants MacDonalds soient des chaînettes. Des paraboles ? Pas exactement non plus. Je pense qu’il s’agirait plutôt de courbes de Bézier que l’on pourrait plus décrire de façon paramétrique et de façon algébrique. D’ailleurs, MM Férréol et Mandonnet ne sont pas convaincus qu’il s’agisse de chaînette si on lit l’inscription sous l’image.M’enfin, si vous en trouvez l’équation hyperbolique, je serais bien contente de la connaître.

  2. PB
    21/02/2009 at 11:02

    >Bonjour,Oui, blogue fort intéressant.Je me permets d’indiquer un lien (cliquer sur mes initiales ci-dessus) vers un petit article que j’avais écrit sur la chaînette. On n’y trouvera pas grand chose de plus : une présentation un peu différente des calcul, et une réponse à la question stupide « Comment répartir la masse (de façon inégale) sur un fil de façon à ce qu’il forme une parabole ? »:-)

  3. Xochipilli
    01/03/2009 at 18:28

    >(avec un peu de retard, pour cause de congé ;-)@Missmath: vous avez raison d’être vigilante. Ce ne sont pas des courbes paraboliques (voir par exemple sur ce site ) mais je ne sais plus d’où je sors que ce sont des chainettes. Exit l’exemple, faute de preuve.@PB: Merci pour votre démonstration très complète je la mets en lien. Par contre je sèche moi aussi pour justifier que la tension au point le plus bas de la chainette est indépendante de la longueur et du poids de celle-ci!

  4. PB
    03/03/2009 at 19:12

    >Cela me rassure : je ne suis pas le seul à trouver ça non évident 🙂

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