Born again Thalès

>La légende
– Rolala, le prof nous a dit que la semaine prochaine on allait apprendre Thalès. Rien que le nom, ça a l’air compliquéééééééé!!! me dit mon numberone.
Pas de panique, fiston. Thalès c’est d’abord une légende: l’histoire veut que
ce savant grec du VIe siècle avant JC, arrivé à Khéops se trouva mis au défi par le pharaon de l’époque de mesurer la hauteur de la gigantesque pyramide, sans autre instrument qu’une simple corde. Il s’assit par terre, et se mit à songer devant l’ombre de la pyramide: cette ombre est bien proportionnelle à la hauteur de ma pyramide, se dit-il, mais dans quelle proportion? Contemplant alors sa propre ombre, notre savant réalisa qu’à une heure donnée, toutes les ombres étaient proportionnelles à la hauteur des objets! Il mesura alors sur le sol la taille de son ombre et en la comparant avec sa propre hauteur, il calcula ce facteur de proportionnalité pour obtenir la hauteur cherchée. C’est ainsi qu’il pu estimer la hauteur de la pyramide à 67 fois sa propre hauteur.

Une élégante démonstration du théorème de Thalès pour un triangle rectangle

Cette histoire est sans doute une légende mais elle a le mérite d’être facile à retenir. Elle constitue également une élégante manière de démontrer le fameux théorème du même nom, sans calcul et sans connaître grand chose à part le théorème de Pythagore. Presque pas de calculs, c’est promis!

Reprenons notre bonhomme Thalès, sa pyramide et leurs ombres et symbolisons-les, de profil bien sûr (on est en Egypte) par des triangles. Si ce n’est pas Numérobis qui a construit la pyramide, et si Thalès se tient droit, nos triangles sont rectangles. Les hypoténuses de ces triangles sont les rayons du soleil qui sont tous parallèles entre eux. Nos deux triangles rectangles ont donc deux de leurs angles égaux entre eux (on dit qu’ils sont semblables).

Dessinons-les maintenant (triangles I et II), mais en les disposant comme sur la figure ci-contre. Construisons les rectangles dans lesquels ils s’inscrivent: on a appelé I’ l’aire du triangle complémentaire de I (en blanc), et II’ le complémentaire de II. III est le rectangle en bas à droite et III’ le petit rectangle qui ferme le grand triangle blanc en haut à gauche.

Par construction, on a I’=I; II’=II et l’aire du grand triangle bleu est égale à celle du grand triangle blanc s’écrit I+II+III=I’+II’+III’
On en déduit donc que III’=III
Comme III=xb (l’aire d’un rectangle vaut le produit de ses côtés) et III’=ay, alors xb=ay
Egalité qui s’écrit encore y/x=b/a.

Ce rapport est le facteur de proportionnalité entre les objets et leurs ombres, celui qui a permis à Thalès de calculer la taille de la pyramide (y) à partir de son ombre (a), sa propre taille(b) et l’ombre de la pyramide (x) par la relation y=xb/a.

Traditionnellement, le théorème de Thalès s’exprime sous l’autre forme:
y/b=x/a

En appliquant la relation de Pythagore (x²+y²=z² et a²+b²=c²), on a également
z²=x²+y²=x² (1+b²/a²)=x²c²/a²
z=xc/a

D’où la relation z/c=x/a=y/b qui traduit simplement le fait que deux triangles rectangles semblables (=ayant les mêmes angles) ont leurs côtés proportionnels deux à deux. Voilà le théorème de Thalès démontré pour un triangle rectangle. Le plus dur est fait!

Généralisation à un triangle quelconque

Et pour des triangles quelconques, ça marche aussi, dis?

Procédons de la même façon pour les deux triangles ABC et AB’C’ d’angles égaux. On décompose chaque triangle en une somme de deux triangles rectangles (ABD et BCD d’un côté, AB’D’ et B’C’D’ de l’autre). Les triangles rectangles sont semblables deux à deux et on peut leur appliquer à chacun les formules de proportionnalité que l’on vient de trouver. En rassemblant les égalités indiquées sur la figure, et en mélangeant très fort on obtient: AB’/AB=B’C’/BC. En décomposant différemment le triangle ABC (par deux triangles rectangles coupant le côté AB perpendiculairement par exemple), on obtient finalement:

AB’/AB=B’C’/BC=AC’/AC

Moralité: deux triangles semblables quelconques (c’est à dire ayant les mêmes angles) ont leurs côtés proportionnels deux à deux. Le théorème de Thalès ne dit rien d’autre:

Soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC) (comme indiqué sur la figure ci-contre). Alors on a :
\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

Quelques applications amusantes

Que veulent dire ces drôles d’égalités: c’est archi simple! Si A est un vidéo-projecteur et DE l’écran sur lequel on projette le film, le théorème de Thalès dit simplement que si l’on double l’éloignement de l’écran (AB=2AD), la taille de l’image doublera aussi (BC=2DE)…

On peut se servir du théorème de Thalès pour faire des divisions, comme sur la figure ci-contre: pour savoir combien vaut y/x, on place B sur l’axe horizontal tel que AB=y, puis un segment vertical BC de longueur x. On trace ABC et l’on repère le point C’ tel que B’C’=1. En appliquant nos formules, on trouve bien que AB’=y/x

Pour faire des multiplications, c’est presque pareil, sauf qu’on trace d’abord AB’=y, puis B’C’=1. On trace la droite AC’ sur laquelle on repère le point C tel que CB=x. En appliquant nos formules, on trouve AB=xy…

Thalès est l’inventeur de la première règle à calcul!

Pour la petite histoire, il semble que bien avant Thalès, Euclide avait déjà démontré ces formules et que la proportionnalité des longueurs de triangles semblables soit une propriété découverte par les Égyptiens et les Babyloniens plus de mille ans avant. Mais ils n’avaient probablement pas une aussi belle histoire à raconter que celle des pyramides…

Références:
le site de Wikipedia sur Thalès et son théorème, démontré de manière plus classique en calculant l’aire d’un triangle à partir du produit de sa hauteur par sa base.
Une autre démonstration tout en image ici.

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